数理统计与数据分析第三版习题 第3章 第21题

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题目

一种仪器用来测量土壤样本中的某种化学微量元素X的浓度。假定这些封样本中X元素的含量是一个随机变量，具有密度函数$f(x)$.土壤的化验结果只有在确定该化学元素存在时才报告其浓度，在非常低的浓度下，即使该元素存在也可能难以检测出来.这种现象可以描述为假定浓度为x,以概率R(x)可以探测出这种化学元素。令Y表示土壤中该元素被检测存在时的浓度.证明Y的密度函数为:
$$g(y)=\frac{R(y)f(y)}{{\int }_0^{\infty }R(x)f(x)dx}$$

解题思路

$$\begin{array}{rl}g(y)& =P(y\le Y\le y+dy)\\ & =P(y\le X\le y+dy|探出)\\ & =\frac{P(y\le X\le y+dy且探出)}{P(探出)}\\ & =\frac{P(检出|y\le X\le y+dy)P(y\le X\le y+dy)}{P(探出)}\\ 其中：& \\ R(y)& =P(检出|y\le X\le y+dy)\\ f(y)& =P(y\le X\le y+dy)\\ 根据全概率公式：& \\ P(检出)& ={\int }_0^{\infty }R(x)f(x)dx\\ 推导出：g(y)& =\frac{R(y)f(y)}{{\int }_0^{\infty }R(x)f(x)dx}\end{array}$$

本题也可以画图进行理解：

通过图可见$g(y)=\frac{小阴影面积}{大阴影面积}$