数理统计与数据分析第三版习题 第3章 第12题

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题目

令 $$f(x,y)=c(x^2-y^2)e^{-x},0\le x<\infty ,-x\le y<x$$
a.计算c
b.计算边际密度
c.计算条件密度

解题思路

因为密度函数在定义内积分等于1
即 $$\iint f(x,y)dx=1,0\le x<\infty ,-x\le y<x$$
$${\int }_0^{\infty }{\int }_{-x}^{x}c(x^2-y^2)e^{-x}dydx=1$$
因为图形是关于x轴对称的所以改变积分区间为[0,x]，并在前边乘2 $$=2c{\int }_0^{\infty }{\int }_{-x}^0(x^2-y^2)e^{-x}dydx=1$$

$$=\frac{4c}{3}{\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-x}dx$$
因为（积分过程见参与【1】）$${\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-x}dx=6$$
所以最终计算为 $$\frac{4c}{3}\ast 6=1$$
$$c=\frac{1}{8}$$

三维图形：

b.求边际密度
f(x)边际密度
$$f_x(x)={\int }_{-x}^x\frac{1}{8}(x^2+y^2)e^{-x}dy=\frac{1}{6}{x}^3{e}^{-x}$$
f(y)边际密度
$$f_y(y)=\frac{1}{8}{\int }_y^{\infty }(x^2-y^2)e^{-x}dx=\frac{y+1}{4}{e}^{-y}y\le 0$$
$$f_y(y)=\frac{1}{8}{\int }_{-y}^{\infty }(x^2-y^2)e^{-x}dx=\frac{1-y}{4}{e}^{y}y\ge 0$$

也可以写成$$f_y(y)=\frac{1}{8}{\int }_{-y}^{\infty }(x^2-y^2)e^{-x}dx=\frac{1-y}{4}{e}^y$$

c.计算条件密度
$$f_{x|y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_y(y)}=\frac{1}{2}\frac{(x^2-y^2)e^{-x}}{(y+1)e^{-y}}y\le 0$$
$$f_{x|y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_y(y)}=\frac{1}{2}\frac{(x^2-y^2)e^{-x}}{(1-y)e^y}y\ge 0$$
$$f_{y|x}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_x(x)}=\frac{3}{4}\frac{(x^2-y^2)}{x^3}$$

参考

【1】积分过程https://www.zybang.com/question/9852be3ff53391198efa821a4abf04a7.html