数理统计与数据分析第三版习题第3章第19题

指数分布下两部件寿命概率计算

最新推荐文章于 2019-04-09 13:46:13 发布

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#指数分布 #积分 #联合分布

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题目

假设两个部件的寿命T₁和T₂服从独立的指数分布，参数分别为α和β.计算
a.P(T₁>T₂)
b.P(T₁>2T₂)

解题思路

a.P(T₁>T₂)

根据题意
$P(T1>T2)=∬t1>t2f(t1,t2)dt2dt1=∫0∞∫0t1αe−αt1∗βe−βt2dt2dt1=∫0∞αe−αt1∗β∗1−β[e−βy]0t1dt2=∫0∞(−αe−αt1e−βx+α−αt1)dt1=∫0∞(α−αt1)dt1−∫0∞αe−αt1e−βxdt1=1−αα+β=βα+β\begin{aligned} P(T_{1}>T_{2})&=\iint_{t_{1}>t_{2}} f(t_{1},t_{2})dt_{2}dt_{1}\\ &=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t_{1}}αe^{-αt_{1}}*βe^{-βt_{2}}dt_{2}dt_{1}\\ &=\int_{0}^{\infty}αe^{-αt_{1}}*β*\frac{1}{-β}\left[e^{-βy}\right]_{0}^{t_{1}} dt_{2}\\ &=\int_{0}^{\infty}(-αe^{-αt_{1}}e^{-βx}+α^{-αt_{1}})dt_{1}\\ &=\int_{0}^{\infty}(α^{-αt_{1}})dt_{1}-\int_{0}^{\infty}αe^{-αt_{1}}e^{-βx}dt_{1}\\ &=1-\frac{α}{α+β}\\ &=\frac{β}{α+β} \end{aligned}$

b.P(T₁>2T₂)

$P(T1>2T2)=∬t1>2t2f(t1,t2)dt2dt1=∫0∞∫0t12αe−αt1∗βe−βt2dt2dt1=β2α+β\begin{aligned} P(T_{1}>2T_{2})&=\iint_{t_{1}>2t_{2}} f(t_{1},t_{2})dt_{2}dt_{1}\\ &=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\frac{t_{1}}{2}}αe^{-αt_{1}}*βe^{-βt_{2}}dt_{2}dt_{1}\\ &=\frac{β}{2α+β} \end{aligned}$