数理统计与数据分析第三版习题第3章第28-31题

连接函数与联合密度解析

最新推荐文章于 2023-12-12 20:01:08 发布

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#连接函数 #概率 #copula #FGM

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题目28

证明： $C (u, v) = u v$ 是连接函数，为什么称为"独立的连接函数"

解题思路

证明为连接函数，证明C(u,1)=u 并且 C(1,v)=v即可，将相应参数代入上式，满足条件，即边际分布是均匀分布。
$u=F_X(x),v=F_Y(y)$
$F_XY(x,y)=C(u,v)=uv并且F_X(x)F_Y(y)=uv$
根据上式推导，两个变量的联合分布，等于各自分布的乘积，表明两个变量是独立的

题目29

利用Farlie-Morgenstern 连接函数构造边际密度为指数分布的二元密度，计算联合密度的表达式

解题思路

$令F_X(x)=1-e^{-\lambda x},f_X(x)=\lambda e^{\lambda x}$
$令F_Y(y)=1-e^{-\mu y},f_Y(y)=\mu e^{-\mu y}$

$f_{XY}(x,y)=c(F_X(x),F_Y(y))f_X(x)f_Y(y)$

$令u=F_X(x),v=F_Y(y)$
$\begin{aligned} c(u,v)&=\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}C(u,v) \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space (1)\\ 其中：\\ C(u,v)&=uv(1+\alpha(1-u)(1-v))\\ &=uv+\alpha uv-\alpha u^2-\alpha uv^2+\alpha u^2v^2\\ 代入(1)式：\\ c(u,v)&=1+\alpha(1-2u)(1-2v)\\ f_{X,Y}(x,y)&=\lambda e^{-\lambda x}\mu e^{-\mu y}[1+\alpha(1-2(1-e^{-\lambda x}))(1-2(1-e^{-\mu y}))]\\ &=\lambda\mu e^{-\lambda x} e^{-\mu y}[1+\alpha(2e^{\lambda x}-1)(2e^{-\mu y}-1)]\\ &=\lambda\mu e^{-\lambda x} e^{-\mu y}[1+\alpha(1-2e^{\lambda x})(1-2e^{-\mu y})] \end{aligned}$

题目30

当 $0\leq\alpha\leq1和0\leq\beta\leq1$ 时,证明 $C(u,v)=min(u^{1-\alpha}v,uv^{1-\beta})$ 是连接函数，联合密度是什么

解题思路

$C(u,v)=min(u^{1-\alpha}v,uv^{1-\beta})=\left\{ \begin{aligned} u^{1-\alpha}v \quad u^\alpha\geq v^\beta\\ uv^{1-\beta} \quad u^\alpha\leq v^\beta\\ \end{aligned} \right.$
$\begin{aligned} 满足，边际分布为均匀分布，所以是连接函数\\ C(u,1)=uv^{1-\beta}=u\\ C(1,u)=u^{1-\alpha}v=v\\ \end{aligned}$
$\begin{aligned} 求联合密度函数 c(u,v)=\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}C(u,v)=\left\{ \begin{aligned} (1-\alpha)u^{-\alpha} \quad u^\alpha\geq v^\beta\\ (1-\beta)v^{-\beta} \quad u^\alpha\leq v^\beta\\ \end{aligned} \right. \end{aligned}$