图(Graph)上的傅里叶变换

图上的傅里叶变换

定义Laplacian算子的目的是为了找到Fourier变换的基

传统的傅里叶变换FT:

$F(w)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-iwt}dt$

从数学上看，$e^{-iwt}$ 是拉普拉斯算子的特征函数， $w$ 与特征值相关

$Av=\lambda v$ \quad 其中$A$是一种变换，$v$是特征向量或特征函数(无穷维的向量)，$\lambda$ 是特征值

$\Delta e^{-iwt}=\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}{e}^{-iwt}=-w^2{e}^{-iwt}$

当然 $e^{-iwt}$ 就是变换$\Delta$的特征函数，$w$和特征值密切相关。

处理Graph问题的时候，用到拉普拉斯矩阵（拉普拉斯矩阵就是离散拉普拉斯算子），自然就去找拉普拉斯矩阵的特征向量了。

1. 拉普拉斯矩阵 == 离散拉普拉斯算子
2. 拉普拉斯矩阵的特征向量$v$ == 拉普拉斯算子的 特征函数$e^{-iwt}$

$L$ 是拉普拉斯矩阵， $v$ 是其特征向量，满足下式
$Lv=\lambda v$

离散积分是一种内积形式，定义Graph上的傅里叶变换为：
$$F({\lambda }_l)=\hat{f}({\lambda }_l)=\sum _{i=1}^{N}f(i)u_l^{\ast }(i)$$
$f$ 是Graph上的 $N$ 维向量， $f(i)$ 与Graph的顶点一一对应， $u_l(i)$ 表示第 $l$ 个特征向量的第 $i$ 个分量。那么特征值（频率） ${\lambda }_l$ 下的， $f$ 的Graph 傅里叶变换就是与 ${\lambda }_l$ 对应的特征向量 $u_l$ 进行内积运算。

上述的内积运算是在复数空间中定义的，所以采用了 $u_l^{\ast }(i)$ ，也就是特征向量 $u_l$ 的共轭。
利用矩阵乘法将Graph上的傅里叶变换推广到矩阵形式：

即 $f$ 在 Graph 上的傅里叶变换的矩阵形式为: $\hat{f}=U^{T}f$

传统的傅里叶变换逆变换：

$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)e^{iwt}dw$

迁移到Graph上变为对特征值 ${\lambda }_l$ 求和：

$$f(i)=\sum _{l=1}^N\hat{f}({\lambda }_l)u_l(i)$$
利用矩阵乘法将Graph上的傅里叶逆变换推广到矩阵形式：

即 $f$ 在Graph上傅里叶逆变换的矩阵形式为： $f=U\hat{f}$

为什么拉普拉斯矩阵的特征向量可以作为傅里叶变换的基

傅里叶变换一个本质理解就是：把任意一个函数表示成了若干个正交函数（由sin,cos 构成）的线性组合。

graph傅里叶变换也把graph上定义的任意向量 $f$，表示成了拉普拉斯矩阵特征向量的线性组合，即：
$$f=\hat{f}(1)u_1+\hat{f}(2)u_2+...+\hat{f}(n)u_n$$
原因在于$(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\cdots ,\overrightarrow{u_n})$是 graph上 n维空间中的 $n$ 个线性无关的正交向量，由线性代数的知识可以知道：$n$ 维空间中 $n$ 个线性无关的向量可以构成空间的一组基，而且拉普拉斯矩阵的特征向量还是一组正交基。

参考:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/54505069
https://blog.youkuaiyun.com/weixin_40013463/article/details/81089223
https://blog.youkuaiyun.com/qq_41727666/article/details/84622965#CNN_3
https://www.bilibili.com/video/av51204684?p=8