欧拉公式
e i θ = cos θ + i sin θ e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ
推导证明
根据麦克劳林公式：
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
x
5
5
!
+
.
.
.
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \frac{x^5}{5!}+ ...
ex=1+x+2!x2+3!x3+4!x4+5!x5+...
把
x
x
x 换成
i
x
ix
ix 带入可以得到:
e
i
x
=
1
+
i
x
+
(
i
x
)
2
2
!
+
(
i
x
)
3
3
!
+
(
i
x
)
4
4
!
+
(
i
x
)
5
5
!
+
(
i
x
)
6
6
!
+
.
.
.
=
1
+
i
x
−
x
2
2
!
−
i
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
i
x
5
5
!
−
x
6
6
!
+
.
.
.
=
(
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
.
.
.
)
+
i
(
x
−
i
x
3
3
!
+
i
x
5
5
!
−
.
.
.
)
=
cos
x
+
i
sin
x
\begin{aligned} e^{ix} &= 1 + {ix} + \frac{(ix)^2}{2!}+ \frac{(ix)^3}{3!}+ \frac{(ix)^4}{4!}+ \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!}+ ... \\ &= 1 + {ix} - \frac{x^2}{2!}- \frac{ix^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \frac{ix^5}{5!}- \frac{x^6}{6!}+ ... \\ & = (1 - \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^4}{4!}- \frac{x^6}{6!}+ ...)+i(x-\frac{ix^3}{3!}+ \frac{ix^5}{5!}-...) \\ &= \cos x + i \sin x \end{aligned}
eix=1+ix+2!(ix)2+3!(ix)3+4!(ix)4+5!(ix)5+6!(ix)6+...=1+ix−2!x2−3!ix3+4!x4+5!ix5−6!x6+...=(1−2!x2+4!x4−6!x6+...)+i(x−3!ix3+5!ix5−...)=cosx+isinx
将
θ
\theta
θ 替换成
π
\pi
π 就能得到数学最美的公式:
e
i
π
+
1
=
0
e^{i \pi} + 1 = 0
eiπ+1=0
为什么说它是最美的呢？因为它包含了指数里最基本的e，复数里最基本的 i ，圆频率最基本的 π，以及自然数里最基本的0和1。
参考资料：
https://blog.youkuaiyun.com/yesyes120/article/details/81156295
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