广度优先搜索（BFS）解决倒水问题

广度优先搜索（BFS）解决倒水问题

背景

小时候看过一些智力测验之类的倒水问题，例如：

有两个杯子，体积分别为3和5，如何倒出体积为4的水。

建模

使用动态规划和广度优先搜索的思想对这个问题进行建模。记两个杯子的体积分别为$A，B$，我们要倒出的目标记为$T$。

状态：$(a,b)$表示两个杯子当前时刻各自有多少水。

转移方程：

1. $(a,b)\to (0,b)$：倒空A

2. $(a,b)\to (A,b)$：倒满A

3. $(a,b)\to (a,0)$：倒空B

4. $(a,b)\to (a,B)$：倒满B

5. $\{\begin{array}{l}a\to Max(0,a+b-B)\\ b\to Min(B,a+b)\end{array}$ 从A倒出到B

6. $\{\begin{array}{l}a\to Min(A,a+b)\\ b\to Max(0,a+b-A)\end{array}$ 从B倒出到A

求解思想：从原点$(0,0)$出发，使用广度优先策略对整个空间进行搜索，直到$a=T$或者$b=T$。

代码实现

A, B = 3, 5
T = 4

# 从A倒出到B
def a_out(a, b):
    x = max(0, a+b-B)
    y = min(B, a+b)
    return x, y

# 从B倒出到A
def b_out(a, b):
    x = max(0, a+b-A)
    y = min(A, a+b)
    return y, x

# 记录状态转移方程
func_list = [
    lambda a, b: (0, b),
    lambda a, b: (A, b),
    lambda a, b: (a, 0),
    lambda a, b: (a, B),
    a_out, b_out
]

# 记录当前状态的上一个状态，用于回溯
post_action = [[None for _ in range(B+1)] for _ in range(A+1)]
# 记录当前状态是否被遍历过，可以和上面的post_action优化成一个二维数组
vis_map = [[False for _ in range(B+1)] for _ in range(A+1)]

# 待遍历的状态列表
tasks = [(0, 0)]
def solve():
    while len(tasks) > 0:
        a, b = tasks.pop(0)
        vis_map[a][b] = True
        if b == T or a == T:
            return a, b
        # 状态(a, b)的所有可达状态列表
        temp_task = [f(a, b) for f in func_list]
        for x, y in temp_task:
            if vis_map[x][y]:
                continue
            post_action[x][y] = (a, b)
            tasks.append((x, y))
    return 0, 0

# 根据post_action进行回溯
def back(target):
    a, b = target
    if post_action[a][b] is None:
        print(str((a, b)))
        return
    print(str((a, b)))
    back(post_action[a][b])


res = solve()
back(res)

结果

(3, 4)
(2, 5)
(2, 0)
(0, 2)
(3, 2)
(0, 5)
(0, 0)

从下往上看：

• 先将B杯倒满
• 再从B杯中倒出3给A杯，B剩余2
• 清空A杯
• 将B杯中的2倒给A杯，此时A杯有1的空余
• 再次将B倒满
• 向A倒出1，最终B杯剩余4

思考

广度优先搜索能保证找出来的路径为最短路径。

改变程序参数后观察发现，貌似任意两个互质的整数，都可以作为杯子体积构造出任意一个小于它们最大值的数。暂时没找到证明过程。