cv姿态评估：Levenberg-Marquardt优化-阻尼最小二乘（DLS）

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本节记录了cv姿态评估的常见思路，建立模型的方法与Levenberg-Marquardt优化原理。
在下一节中，我们将讨论如何在工程上将旋转向量、欧拉角与四元数之间进行转换。
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基础知识：

仿射变换是计算机视觉领域应用十分广泛的特殊变换。是指在几何中，一个向量进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量。对于一个三维直角坐标系，基于每个坐标轴的旋转具有的规则旋转空间的集合，可以表示任何三维向量。在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

一个对向量平移向量b，与旋转放大缩小 A的仿射映射为

在齐次坐标上，等价于

在分形的研究里，收缩平移仿射映射可以制造制具有自相似性的分形。一个在两个仿射空间之间的仿射变换，是在向量上呈现线性之坐标点的变换（即为空间中点与点之间的向量）。以符号表示的话，  使得 ，决定任一对点的线性变换：

或者

 

在二维坐标系上绕原点进行的二维旋转：

如图所示，当点v绕原点转动θ至v'，假设v点的坐标是(x,y)，那么可以推导得到v'(x',y')，过程如下：

参数如图，我们发现：

x=rcosϕ

y=rsinϕ

x′=rcos(θ+ϕ)

y′=rsin(θ+ϕ)

通过三角函数展开得：

x′=rcosθcosϕ−rsinθsinϕ

y′=rsinθcosϕ+rcosθsinϕ

代入x,y表达式可得：

x′=xcosθ−ysinθ

y′=xsinθ+ycosθ

使用矩阵表示：

绕任意轴的三维旋转

绕任意轴的三维旋转可以将旋转分解为一系列基本的二维旋转，如图所示：

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