最大团计算

完全子图：子图U属于图G，且子图U中各顶点v两两相连；

团：如果完全子图U不被其他子图包含，则该完全子图U为团C；

最大团：图G中顶点数目最多的团C

算法步骤：

（1）将图G表示为矩阵M，矩阵元素值描述为行号对应节点与列号对应节点的连接状态，连接则为1，不连接则为0；

（2）以最小下标对应节点作为起始节点，如以下标为0的节点作为起始节点。

（3）将0号节点放入团中，当前顶点数cn为1，接着输入1号节点，M[1][0]=1，则将1号节点放入团中，cn=2。

（4）输入2号节点，M[2[0]=1,M[2][1]=0，则2号节点与现有团无法构成团；输入3号节点同样无法与现有团构成团。

（5）输入5号节点，M[5[0]=1,M[5][1]=1，则将5号节点放入团中，cn=3。

（6）第一次迭代结束，bestcn=cn=3，cn=1。从剩余节点中导入新的节点，若cn+N-i<bestcn，则跳出循环；否则，继续处理步骤（2）（3）（4）（5）（6）。

若得到多个团，取节点数最多的团作为最大团。该实验最终输出结果为：｛1，2，5｝。

代码：

//最大团问题 回溯法求解
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

const int N = 5;//图G的顶点数
ifstream fin("5d7.txt");

class Clique
{
    friend int MaxClique(int **, int[], int);
private:
    void Backtrack(int i);
    int **a,		//图G的邻接矩阵
        n,			//图G的顶点数
        *x,			//当前解
        *bestx,		//当前最优解
        cn,			//当前顶点数
        bestn;		//当前最大顶点数
};

int MaxClique(int **a, int v[], int n);

int main()
{
    int v[N + 1];
    int **a = new int *[N + 1];
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        a[i] = new int[N + 1];
    }

    cout << "图G的邻接矩阵为:" << endl;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= N; j++)
        {
            fin >> a[i][j];
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    cout << "图G的最大团解向量为：" << endl;
    cout << "图G的最大团顶点个数为：" << MaxClique(a, v, N) << endl;

    for (int i = 1; i <= N; i++)
    {
        delete[] a[i];
    }
    delete[]a;
    return 0;
}

// 计算最大团
void Clique::Backtrack(int i)
{
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        std::cout << x[i] << " ";
    std::cout << endl;
    if (i > n) // 到达叶结点
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            bestx[j] = x[j];
            cout << x[j] << " ";
        }
        cout << endl;
        bestn = cn;
        return;
    }
    // 检查顶点 i 与当前团的连接
    int OK = 1;
    for (int j = 1; j < i; j++)
    {
        cout << "x[" << j << "]=" << x[j] << endl;
        cout <<"a["<<i<<","<<j<<"]="<<a[i][j] << endl;
        if (x[j] && a[i][j] == 0)
        {
            // i与j不相连
            OK = 0;
            break;
        }
    }

    if (OK)// 进入左子树
    {
        x[i] = 1;
        cn++;
        Backtrack(i + 1);
        x[i] = 0;
        cn--;
    }

    if (cn + n - i >= bestn)// 进入右子树
    {
        x[i] = 0;
        Backtrack(i + 1);
    }
}

int MaxClique(int **a, int v[], int n)
{
    Clique Y;

    //初始化Y
    Y.x = new int[n + 1];
    Y.a = a;
    Y.n = n;
    Y.cn = 0;
    Y.bestn = 0;
    Y.bestx = v;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        std::cout << Y.x[i] << " ";
    std::cout << endl;
    Y.Backtrack(1);
    delete[] Y.x;
    return Y.bestn;
}