二分的思想和应用

最新推荐文章于 2024-04-04 21:34:42 发布

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本文详细介绍了二分查找算法及其在不同场景的应用，包括查找递增序列中特定元素的位置和求解方程的根。同时，还深入探讨了快速幂算法的递归与迭代实现方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1 . 二分查找

//A[]为递增序列，x为欲查询的数，函数返回第一个大于等于x的元素的位置
//二分上下界为左闭右闭，[left，right]，传入的初值为[0,n]
int lower_bound(int A[],int left,int right, int x){
	int mid;
	while(left<right){ //对于[left,right]来说，left==right意味着找到唯一位置
		mid=(left+right)/2;
		if(A[mid]>=x)
			right=mid; //往左子区间[left,mid]查找
		else				
			left=mid+1; //往右子区间[mid+1,right]查找
	}
	return left; // 返回夹出来的位置
}


//A[]为递增序列，x为欲查询的数，函数返回第一个大于x的元素的位置
//二分上下界为左闭右闭，[left，right]，传入的初值为[0,n]
int upper_bound(int A[],int left,int right,int x){
	int mid;
	while(left<right){
		mid=(left+right)/2;
		if(A[mid]>x)
			right = mid;
		else
			left=mid+1;
	}
	return left;
}

2. 二分的思想还可应用到求解方程，例如求解根2

const double eps = 1e-5; //精度
double f(double x){ //计算f(x)
	return x*x-2;
}
double solve(double L,double R){
	double left=L,right=R,mid;
	while(right-left>eps){
		mid=(left+right)/2;
		if(f(mid)>0){
			right=mid;
		}else{
			left=mid;
		}
	}
	return mid; //所返回的当前mid值为f(x)=0的根
}

3. 快速幂问题，求a^b%m

Note:条件if(b%2==1) 括号里可以用b&1代替，这里b&1进行位与操作，判断b的末位是否为1，因此当b为奇数时b&1返回1，if条件成立

//递归快速幂
typedef long long LL;
//求a^b %m , 递归写法
LL binaryPow(LL a,LL b,LL m){
	if(b==0) return 1; //如果b为0，那么a^0=1
	// b为奇数，转换为b-1
	if(b%2==1) return a*binaryPow(a,b-1,m)%m;
	else { //b为偶数，转换为b/2
		LL mul = binaryPow(a,b/2,m);
		return mul*mul%m;
	}
}

//迭代快速幂
typedef long long LL;
LL binaryPow(LL a,LL b,LL m){
	LL ans =1;
	while(b>0){
		if(b&1){ //如果b为奇数
			ans=ans*a%m; //令ans累积上a
		}
		a=a*a%m; //令a平方
		b>>=1; // 将b的二进制右移一位，即b=b/2
	}
	return ans;
}