二分思想的本质和基本应用

整数二分

二分思想

二分思想主要应用于找边界问题。
为了形象阐述二分思想以及它的应用，我打算举一个例子来说明。

假设有一个数列q，在该数列中存在一个区间，该区间左端元素的序号为l，右端元素的序号为r。

存在一个临界点p（边界），使得其右边的所有元素（包含p）都满足性质A，而其他元素都不满足性质A。

为了确定边界p的位置，我们就可以采用二分思想，具体做法如下：

1. 取该区间的中间点mid:
   $$mid=\frac{l+r}{2}$$
2. 检测序号为mid的元素是否满足性质A:
   $$check(q[mid])=\{\begin{array}{l}truemid元素满足性质A\\ falsemid元素不满足性质A\end{array}$$

• 如果mid元素满足性质A，说明它在p点的右边（包含p），此时，可以缩小查找范围，缩小查找区间，变更后的查找区间应为：
  $$[l,r=mid]$$
• 如果mid元素不满足性质A，说明它在p点的左边（不包含p），此时，也可以缩小查找范围，缩小查找区间，变更后的查找区间应为：
  $$[l=mid+1,r]$$

4. 检查l是否等于r，如果相等，结果就为临界点p；如果不等，重复步骤一、二、三。

伪代码实现

int binary_search1(int q[], int l, int r) {
	while (l < r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(q[mid]))	r = mid;
		else  l = mid + 1;
	}
	return l;
}

左边界和右边界问题（重点重点！！！！）

前面我们讨论的是，假定临界点右边的元素（包含临界点）满足性质A，而其他元素不满足的情况。那如果我们考虑另一种情况，即：

考虑临界点左边的元素（包含临界点）满足性质A，而其他元素不满足。

此时，就出现了两种情况，也就是左边界问题和右边界问题。
我把第一种情况称为右边界问题，第二种情况称为左边界问题。
那么， 左边界问题和右边界问题的解决方法是否一致呢？

答：基本思想一致，但实现细节有差别（这一点差别很难发现，很容易造成程序死循环，形成BUG！！！！）

对于左边界问题，为了确定p的位置，具体做法如下：

1. 取该区间的中间点mid:
   $$mid=\frac{l+r+1}{2}$$（为什么是(l+r+1)/2 ? 后面再解释）
2. 检测序号为mid的元素是否满足性质A:
   $$check(q[mid])=\{\begin{array}{l}truemid元素满足性质A\\ falsemid元素不满足性质A\end{array}$$

• 如果mid元素满足性质A，说明它在p点的左边（包含p），此时，可以缩小查找范围，缩小查找区间，变更后的查找区间应为：
  $$[l=mid,r]$$
• 如果mid元素不满足性质A，说明它在p点的右边（不包含p），此时，也可以缩小查找范围，缩小查找区间，变更后的查找区间应为：
  $$[l,r=mid-1]$$

4. 检查l是否等于r，如果相等，结果就为临界点p；如果不等，重复步骤一、二、三。

伪代码实现

int binary_search2(int q[], int l, int r) {
	while (l < r) {
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if (check(q[mid]))	l = mid;
		else  r = mid - 1;
	}
	return l;
}

左边界中mid取值问题

在左边界问题中，为何$mid=\frac{l+r+1}{2}$?

/*对于左边界问题，如果我们让mid = (l + r) / 2，就有可能出现下面的问题：
	考虑下面程序在运行了几次循环之后，出现l = r - 1情况，此时mid = r - 1，
check(q[mid])也一定为true，那么l = mid = r - 1,于是就回到了最开始的情况，然后程序
就会陷入死循环。*/
int binary_search2(int q[], int l, int r) {
	while (l < r) {
		int mid = l + r >> 1;
		if (check(q[mid]))	l = mid;
		else  r = mid - 1;
	}
	return l;
}
//解决方法就是让mid = (l + r + 1) / 2，即可解决该问题。
int binary_search2(int q[], int l, int r) {
	while (l < r) {
		int mid = l + r + 1>> 1;
		if (check(q[mid]))	l = mid;
		else  r = mid - 1;
	}
	return l;
}

整数二分问题

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组p，以及 q 个查询。返回每一个待查找元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

解题思路：

采用二分思想，在该数组上定义一个性质：大于等于k，可以得到右边界点p₀；然后在数组上再定义一个性质：小于等于k，可以得到左边界点p₁。最后，p₀就是待查找元素的终止位置，p₁就是待查找元素的起始位置。

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=10000;
int p[N]; 
int n, q; //n为数组长度，q为查询次数。

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for(int i=0; i < n; i++)    scanf("%d", &p[i]); //为p[n]赋值，p[n]为升序整数数组。
    
    while(q--){
        int x;
        scanf("%d", &x);	//输入待查找的元素
        int l = 0, r = n - 1;	//初始化查找区间的左右端点序号
        //对于右边界点问题，采用binary_search1()操作
        while(l < r){                 
            int mid = l + r >> 1;
            if(p[mid] >= x) r = mid;
            else    l = mid + 1;
        }
        if(p[l] != x)   cout << "-1 -1" << endl;
        else{
            cout << l << " ";
            int l = 0, r = n - 1;
            //对于左边界点问题，采用binary_search2()操作
            while(l < r){
                int mid = (l + r + 1) >> 1;
                if(p[mid] <= x) l = mid;
                else    r = mid - 1;
            } 
            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}