11、多属性域中的增量偏好引出：博尔达计数法下的极小极大后悔值计算与增量引出策略

多属性域中的增量偏好引出：博尔达计数法下的极小极大后悔值计算与增量引出策略

在多属性决策领域，我们常常需要根据不确定的偏好信息来做出决策。本文将探讨如何使用博尔达计数法（Borda count）计算极小极大后悔值（minimax regret），以及如何通过增量引出策略来逐步获取更多的偏好信息，从而更准确地确定博尔达赢家。

博尔达计数法下的极小极大后悔值计算

在多属性域中使用博尔达计数法作为投票规则时，给定不确定性集合 ⟨Ω1, …, Ωn⟩，我们关注极小极大后悔值的计算。计算成对最大后悔值（pairwise max-regret，PMR）是解决该问题的关键。一旦计算出所有 x, y ∈X 的 PMR(x, y, Ω)，就可以根据定义直接计算出所有 x 的最大后悔值 MR(x, Ω)，进而得到极小极大后悔值 MMR(Ω)。

PMR 的计算可以通过对不同agent的贡献进行分解来实现：
[PMR(x, y, Ω) = \sum_{i = 1}^{n}\max_{\omega_{i}\in\Omega_{i}}\left(s_{i}(y, \omega_{i}) - s_{i}(x, \omega_{i})\right)]

对于每个agent i，我们分别最大化其对 PMR 的贡献：
[PMR_{i}(x, y, \Omega_{i}) = \max_{\omega_{i}\in\Omega_{i}}\left(s_{i}(y, \omega_{i}) - s_{i}(x, \omega_{i})\right)]

根据agent i 的偏好，这个优化问题给出了严格比 y 更不被偏好的替代方案数量与严格比 x 更不被偏好的替代方案数量