洛谷4233：射命丸文的笔记 （dp+多项式求逆）

题面
题意：求n个点的强联通竞赛图的哈密顿回路条数的期望。

和城市规划那题很像，应该打表扔oeis里也会有结果吧。

$f[n]$为n个点的强联通竞赛图的个数，根据题解，有

$$f[n]=2^{C_n^2}-\sum_{i=1}^{n-1}{f[i]\cdot C(n,i)\cdot 2^{C_{n-i}^2}}$$
如果要移项，就必须使 $2^{C_0^2}$为1，然后拆组合数求逆

也可以说常数项为0的多项式没有逆元

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

using namespace std;
#define mmst(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define mmcp(a, b) memcpy(a, b, sizeof(b))

typedef long long LL;

const LL p=998244353;
const int N=400400;

int n,rev[N];

LL cheng(LL a,LL b)
{
    LL res=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
    if(b&1)
    res=res*a%p;
    return res;
}

void init(int len)
{
    n=1;
    int k=-1;
    while(n<len)
    n<<=1,k++;
    for(int i=0;i<n;i++)
    rev[i]=(rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<k);
}

void ntt(LL *a,int ops)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    if(i<rev[i])
    swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int m=1,l=2;l<=n;l<<=1,m<<=1)
    {
        LL wn=(ops) ? cheng(3,(p-1)/l) : cheng(3,p-1-(p-1)/l);
        for(int i=0;i<n;i+=l)
        {
            LL w=1;
            for(int k=0;k<m;k++)
            {
                LL t=a[i+k+m]*w%p;
                a[i+k+m]=(a[i+k]-t+p)%p;
                a[i+k]=(a[i+k]+t)%p;
                w=w*wn%p;
            }
        }
    }
    if(!ops)
    {
        LL Inv=cheng(n,p-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
        a[i]=a[i]*Inv%p;
    }
}

LL I[N],Ijc[N],jc[N];
LL a[N],b[N],X[N];

void ny(LL *a,LL *b,int len)
{
    if(len==1)
    return;
    ny(a,b,len>>1);
    init(len<<1);
    for(int i=0;i<len;i++)
    X[i]=a[i];
    ntt(X,1);
    ntt(b,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    b[i]=b[i]*(2-X[i]*b[i]%p+p)%p;
    ntt(b,0);
    for(int i=len;i<n;i++)
    b[i]=0;
}

int main()
{
    n=131072;

    I[1]=Ijc[0]=jc[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    I[i]=I[p%i]*(p-p/i)%p;

    for(int i=1;i<=n;i++)
    jc[i]=jc[i-1]*i%p,Ijc[i]=Ijc[i-1]*I[i]%p;

    a[0]=a[1]=b[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    a[i]=Ijc[i]*cheng(2,(LL)i*(i-1)/2)%p;

    ny(a,b,131072);
    a[0]=0;
    init(262144);
    ntt(a,1);
    ntt(b,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    a[i]=a[i]*b[i]%p;
    ntt(a,0);
    for(int i=0;i<n;i++)
    a[i]=a[i]*jc[i]%p;

    cin>>n;

    cout<<1<<endl<<-1<<endl;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    printf("%lld\n",jc[i-1]*cheng(2,((LL)i*(i-3)/2))%p*cheng(a[i],p-2)%p);

    return 0;
}