51Nod 1085 背包问题

本文详细解析了经典的0-1背包问题,通过两种不同的实现方式展示了如何求解最大价值。提供了二维DP数组实现和优化后的一维DP数组实现,帮助读者理解并掌握背包问题的算法思路。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

在N件物品取出若干件放在容量为W的背包里,每件物品的体积为W1,W2……Wn(Wi为整数),与之相对应的价值为P1,P2……Pn(Pi为整数)。求背包能够容纳的最大价值。 
Input 
第1行,2个整数,N和W中间用空格隔开。N为物品的数量,W为背包的容量。(1 <= N <= 100,1 <= W <= 10000) 
第2 - N + 1行,每行2个整数,Wi和Pi,分别是物品的体积和物品的价值。(1 <= Wi, Pi <= 10000) 
Output 
输出可以容纳的最大价值。 
Input示例 
3 6 
2 5 
3 8 
4 9 
Output示例 

14

就是背包裸题,好久没写了,练习下保持下手感.

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = (int)1e4 +10;
int w[maxn] , v[maxn];
int dp[105][maxn]; //dp[i][j]前i件物品放入容量为j背包可以获得的最大值 
int main(void) {
    int n , m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
            cin >> w[i] >> v[i];
    }
    for(int i =1 ; i <=n ; i++) 
            for(int j = 0 ; j <= m ; j++) {
                    if(j < w[i]) // 放不下 
                         dp[i][j] = dp[i -1][j];
                     else {
                          dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - w[i]]+v[i]);     
                     }   
            }
    cout << dp[n][m] << endl;
    return 0;
}
一维:

//dp[]数组里存的是容量为j的最大价值
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
inline pair<int,int> mypair() {
     int a,b;cin>>a>>b ;return make_pair(a,b);
}

vector <pair<int,int> > v;
int dp[10005];
int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
    int n , w ;
    cin >> n >> w;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++){
              v.push_back(mypair());
    }
    for(int i = 0 ; i< n ; i++) {
            for(int j = w ; j >= v[i].fi ; j--) {
                dp[j] = max(dp[j] , dp[j - v[i].fi] + v[i].se);    
            }
    } 
    cout << dp[w] << endl; 
    return 0;
}




题目 51nod 3478 涉及一个矩阵问题,要求通过最少的操作次数,使得矩阵中至少有 `RowCount` 行和 `ColumnCount` 列是回文的。解决这个问题的关键在于如何高效地枚举所有可能的行和列组合,并计算每种组合所需的操作次数。 ### 解法思路 1. **预处理每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数**: - 对于每一行,计算将其变为回文所需的最少操作次数。这可以通过比较每对对称位置的值是否相同来完成。 - 对于每一列,计算将其变为回文所需的最少操作次数,方法同上。 2. **枚举所有可能的行和列组合**: - 由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此可以枚举所有可能的行组合和列组合。 - 对于每一种组合,计算其所需的最少操作次数,并取最小值。 3. **计算操作次数**: - 对于每一种组合,需要计算哪些行和列需要修改,并且注意行和列的交叉点可能会重复计算,因此需要去重。 ### 代码实现 以下是一个可能的实现方式,使用了枚举和位运算来处理组合问题: ```python def min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count): import itertools N = len(matrix) M = len(matrix[0]) # Precompute the cost to make each row a palindrome row_cost = [] for i in range(N): cost = 0 for j in range(M // 2): if matrix[i][j] != matrix[i][M - 1 - j]: cost += 1 row_cost.append(cost) # Precompute the cost to make each column a palindrome col_cost = [] for j in range(M): cost = 0 for i in range(N // 2): if matrix[i][j] != matrix[N - 1 - i][j]: cost += 1 col_cost.append(cost) min_total_cost = float('inf') # Enumerate all combinations of rows and columns rows = list(range(N)) cols = list(range(M)) from itertools import combinations for row_comb in combinations(rows, row_count): for col_comb in combinations(cols, col_count): # Calculate the cost for this combination cost = 0 # Add row costs for r in row_comb: cost += row_cost[r] # Add column costs for c in col_comb: cost += col_cost[c] # Subtract the overlapping cells for r in row_comb: for c in col_comb: # Check if this cell is part of the palindrome calculation if r < N // 2 and c < M // 2: if matrix[r][c] != matrix[r][M - 1 - c] and matrix[N - 1 - r][c] != matrix[N - 1 - r][M - 1 - c]: cost -= 1 min_total_cost = min(min_total_cost, cost) return min_total_cost # Example usage matrix = [ [0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0] ] row_count = 2 col_count = 2 result = min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count) print(result) ``` ### 代码说明 - **预处理成本**:首先计算每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数。 - **枚举组合**:使用 `itertools.combinations` 枚举所有可能的行和列组合。 - **计算成本**:对于每一种组合,计算其成本,并考虑行和列交叉点的重复计算问题。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此枚举所有组合的时间复杂度为 $ O(N^{RowCount} \times M^{ColCount}) $,这在实际中是可接受的。 - **空间复杂度**:主要是存储预处理的成本,空间复杂度为 $ O(N + M) $。 ### 相关问题 1. 如何优化矩阵中行和列的枚举组合以减少计算时间? 2. 在计算行和列的交叉点时,如何更高效地处理重复计算的问题? 3. 如果矩阵的大小增加到更大的范围,如何调整算法以保持效率? 4. 如何处理矩阵中行和列的回文条件不同时的情况? 5. 如何扩展算法以支持更多的操作类型,例如翻转某个区域的值?
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