10、二维离散小波变换及相关特性解析

二维离散小波变换及相关特性解析

1. 二维离散小波变换（2D DWT）原理

当二维离散小波变换（2D DWT）可分离时，我们能以行 - 列的方式实现它。虽然可以实现真正的 2D DWT 来利用图像中的二维相关性，但使用一维 DWT 实现 2D DWT 更为高效。原因主要有两点：一是文献中存在大量一维小波设计材料；二是一维 DWT 有快速实现方法。下面详细介绍实现步骤：
1. 从大小为 N × N 像素的给定图像开始，首先使用滤波器 h0 [−n] 和 h1 [−n] 逐行对其进行滤波，并在滤波器输出端保留每隔一个的样本。这样会得到一组两个大小均为 N × N/2 的 DWT 系数。
2. 接着，对滤波器 h0 [−n] 的 DWT 系数再次使用相同的两个滤波器沿每列进行滤波，并进行 2 倍下采样，从而得到另外两组大小均为 N/2 × N/2 的 DWT 系数。
3. 最后，对滤波器 h1 [−n] 的 DWT 系数沿列使用相同的两个滤波器进行滤波并下采样，得到另外两组大小为 N/2 × N/2 的 DWT 系数。此时，我们就得到了该图像的一级 DWT。

一级 2D DWT 的四个不同系数分别标记为 yLL1 [m, n]、yHL1 [m, n]、yLH1 [m, n] 和 yHH1 [m, n]。其中，后缀 LL 表示在两个维度上 h0 [−n] 滤波器的输出；HL 表示先沿行使用 h1 [−n] 滤波器，再沿列使用 h0 [−n] 滤波器的输出；LH 表示先使用 h0 [−n] 滤波器，再使用 h1 [−n] 滤波器的输出；HH 表示在两个维度上 h1 [−n] 滤波器的输出。后缀 1 表示级别编号。

要获得二级 2D DWT，通常会对 LL1 系