38、统计推断与预测：理论、案例及注意事项

统计推断与预测：理论、案例及注意事项

在统计学中，抽样过程的不同方式会对结果产生显著影响。当抽样不放回时，虽然期望值与有放回抽样相同，但方差和标准差会更小。这是因为这些量会通过有限总体校正因子((N - n)/(N - 1))进行调整。

抽样分布的性质也十分重要。以(\bar{X})的抽样分布为例，其期望值与总体均值相匹配，标准差会随着样本量的增加而减小，且由于是不放回抽样，减小速度更快，同时分布近似于正态曲线。

1. 检验与区间背后的概率

概率是进行假设检验、提供估计量的置信区间以及未来观测值的预测区间的基础。
- 假设检验 ：依赖于零模型，该模型为统计量(\hat{\theta})提供概率分布。通常计算(P(\hat{\theta} \geq \text{观测统计量}))，为了简化计算，常对随机变量进行标准化，即(P\left(\frac{\hat{\theta} - \theta_0}{SD(\hat{\theta})} \geq \frac{\text{观测统计量} - \theta_0}{SD(\hat{\theta})}\right))。当(SD(\hat{\theta}))未知时，可通过模拟进行近似；若有关于(SD(\hat{\theta}))的公式，可用样本标准差替代总体标准差。标准化后的分布若(\hat{\theta})近似正态分布，则标准化版本服从均值为(0)、标准差为(1)的标准正态分布，这在大量假设检验（如A/B测试）中非常有用。
- 置信区间 ：以创建(95\%)置信区间为例，当估计量的抽样分布大致正态时，通过标准化使用概率(P\left(\frac{|\ha