11、统计推断中的贝叶斯与频率主义方法

统计推断中的贝叶斯与频率主义方法

在统计推断领域，贝叶斯概率和频率主义概率是两种重要的方法，它们在处理数据和估计参数方面有着不同的思路和应用场景。下面将详细介绍这两种方法的相关内容。

贝叶斯概率与推断

• 不合适先验 ：在某些情况下，会使用不合适先验进行参数估计。例如，对于参数 $\tau$ 的后验分布，分别使用均匀先验（虚线）、对 $\lambda = 1 / \tau$ 的均匀先验（点线）和杰弗里斯先验（实线）进行计算。同时考虑了不同测量次数 $N$（如 $N = 5$、$10$ 和 $50$）的情况，数据值 $t_1, \cdots, t_N$ 以蓝色直方图展示。
• 变量变换与误差传播
  • 原理 ：当原始测量参数 $\vec{\theta}$ 转换为另一组参数 $\vec{\eta}$ 时，需要对测量误差进行传播，并给出新参数的不确定性。在贝叶斯推断中，可以自然地引入误差传播。贝叶斯推断的结果是感兴趣的未知参数的后验概率密度函数（PDF），为了得到变换后参数的 PDF，只需对后验 PDF 进行变换。
  • 两变量变换示例 ：对于两变量变换 $(\theta_1, \theta_2) \to (\eta_1, \eta_2) = (\eta_1(\theta_1, \theta_2), \eta_2(\theta_1, \theta_2))$，PDF $p(\theta_1, \theta_2)$ 按以下方式变换：
    [p(\eta_1, \eta_2) =