48、随机游走相关知识解析

随机游走相关知识解析

1. 简单随机游走与抽样

随机游走在抽样这一统计技术中有所体现。抽样是指从大量总体中选取一部分个体，以此来估计整个总体的特征。当总体规模过大，难以对每个个体进行测量以获取统计矩的“真实”值时，抽样技术就显得尤为必要。

以测量大量人群的平均体重为例，我们想知道随机选取的一部分人群的平均体重与通过称量全体成员得到的“真实”平均体重之间的预期差异（即误差）。随机游走模型可以对抽样误差与抽样子集大小之间的关系进行一阶近似。在这种情况下，“随机游走”中的“一步”是总体真实平均体重与抽样个体实际体重之间的未知距离。直观上，我们期望抽样误差随着样本量的增加而减小，当样本集为整个总体时，误差为零。抽样误差的一种定义是分数误差：
[
\varepsilon := \frac{\vert\sqrt{\langle X^2\rangle}\vert}{N\ell}
]
其中 (N\ell) 是随机游走的长度。利用相关公式可得：
[
\varepsilon = \frac{\vert\sqrt{N}\vert\ell}{N\ell} = \frac{1}{\sqrt{N}}
]
这表明，尽管 (\langle X^2\rangle) 随 (N) 线性增加，但分数误差 (\varepsilon) 会减小。

若要将总体平均体重估计到真实值的 1% 以内，即 (\varepsilon = 0.01)，根据上述公式可知需要称量 10,000 个个体。需要注意的是，预测的样本量只是一个估计值，不能保证从样本确定的个体平均体重一定在真实值的 1% 以内，但能让我们有理由相信（从统计意义上精确而言）抽样总体中个体的平均体重在真实值的 1% 以内。

2. 作为细胞探针的行走分子

单分子跟踪实验的基本假设是随机游走具有遍历性。在二维情况下，均方位移为：
[
\langle R^2(\Delta)\rangle = \frac{1}{N - n}\sum_{i = 1}^{N - n}[(x(t_i + \Delta) - x(t_i))^2 + (y(t_i + \Delta) - y(t_i))^2]
]
其中 (R^2 = x^2 + y^2)。由于 (x) 和 (y) 坐标的波动是独立发生的，所以有 (\langle R^2(\Delta)\rangle = 4D\Delta)。类似地，在三维随机游走中，(\langle R^2(\Delta)\rangle = 6D\Delta)。在实验文献中，均方位移也被称为两点相关函数。

在一维情况下，均方位移与自相关函数 (C_{xx}(\Delta)) 有关：
[
\langle R^2(\Delta)\rangle = -2C_{xx}(\Delta) + 2\langle X^2\rangle
]
虽然 (C_{xx}(\Delta)) 是常用的噪声描述符，但在随机游走的情况下，(\langle R^2(\Delta)\rangle) 比 (C_{xx}(\Delta)) 更可靠。这是因为 (C_{xx}(\Delta)) 对实验时间序列的固有局限性更为敏感，如测量误差、测量仪器的有限精度、未知原因的局部趋势以及时间序列的有限长度等。为了减少这些时间序列的局限性，已经开发了多种估计 (\langle R^2(\Delta)\rangle) 的方法，包括去趋势波动分析（DFA）和实时均方位移（RTSD）等。

利用金银纳米粒子可以测量单细胞中分子的运动。这些粒子具有独特的光学性质，如局部表面等离子体共振，对粒子的大小、形状及其环境敏感，以及强烈的瑞利散射，便于使用暗场显微镜和光谱学实时识别这些纳米粒子的位置。由于金银是贵金属，它们的纳米粒子具有组织相容性，可用于探测活细胞网络不同部分的扩散特性以及它们在活细胞中所附着分子的运动。

在斑马鱼胚胎发育的研究中，将银纳米粒子放置在不同部位，观察到随机游走的性质明显取决于纳米粒子在胚胎内的位置。在胚胎发育的分裂阶段，斑马鱼胚胎有四个不同区域：卵黄囊（YS）、胚胎内部质量（IME）、绒毛膜层（CLs）和绒毛膜空间（CS）。当金纳米粒子置于 CS 时，(\langle R^2(\Delta)\rangle_{RTSD}) 随 (\Delta) 线性增加，表明这些位置的纳米粒子运动类似于简单随机游走者，只是扩散系数不同。而置于 CLs 外表面和 CS - IME 界面的银纳米粒子则表现出复杂的非线性随机游走。目前认为，CLs 外表面的随机游走反映了受限扩散，即粒子在短时间尺度上表现得像简单随机游走者，但在较长时间尺度上无法逃离该区域。CS - IME 界面的运动则介于无限制和受限随机游走之间。

3. 随机游走的概率分布函数

研究随机游走的另一种方法是计算经过 (n) 步后，游走者到达位置 (X = r) 的概率 (P(r,n))，该概率分布函数满足：
[
\sum_{r = -\infty}^{\infty}P(r,n) = 1
]
(P(r,n)) 的重要性在于，诸如均值和方差等感兴趣的平均量（期望）可以很容易地从它确定。对于离散变量 (X)，可以使用生成函数 (Q(s,n)) 来确定矩：
[
Q(s,n) = \sum_{r = -\infty}^{+\infty}s^rP(r,n)
]
对于简单随机游走者，(Q(s,n)) 为：
[
Q(s,n) = \left(ps + \frac{q}{s}\right)^n
]
通过对 (Q(s,n)) 关于 (s) 求导可得到均值：
[
\left.\frac{\partial Q(s,n)}{\partial s}\right| {s = 1} \equiv \langle X(n)\rangle = n(p - q)
]
二阶求导可得：
[
\left.\frac{\partial^2 Q(s,n)}{\partial s^2}\right| {s = 1} = \langle X(n)^2\rangle - \langle X(n)\rangle
]
由此可计算出方差 (\sigma^2(n) = 4npq)。方差给出了随机过程变化分量的强度，方差的正平方根是标准差，通常称为随机过程交流分量的均方根（rms）值。当 (\langle X(n)\rangle = 0) 时，方差等于均方位移。

通过计算特征函数的傅里叶变换可以最容易地估计 (P(r,n))。离散特征函数为：
[
\phi(\theta,n) = \sum_{r = -\infty}^{+\infty}P(r,n)e^{-j\theta r}
]
经过 (n) 步后的概率分布可以用积分形式表示为：
[
P(r,n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\phi(\theta,n)e^{j\theta r}d\theta
]
为了使用 (\phi(\theta,n)) 计算 (P(r,n))，首先写出描述 (P(r,n)) 随步数变化的方程：
[
P(r,0) = \delta_{r,0}
]
[
P(r,n) = pP(r - 1,n - 1) + qP(r + 1,n - 1)
]
其中 (\delta_{r,0}) 是克罗内克δ函数。经过一系列计算，最终得到：
[
P(r,n) =
\begin{cases}
\binom{n}{m}p^mq^{n - m}, & (r + n = 2m) \
0, & (r + n \neq 2m)
\end{cases}
]
当 (p = q = 0.5) 时，表达式简化为：
[
P(r,n) =
\begin{cases}
\binom{n}{\frac{r + n}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^n, & (r + n = 2m) \
0, & (r + n \neq 2m)
\end{cases}
]
此时 (\langle X(n)\rangle = 0)，(\sigma^2(n) = n)。

4. 随机游走的功率谱

平稳离散自相关函数 (C(\Delta)) 衡量了相隔 (\Delta) 步的随机变量之间的平均影响程度。自相关函数可用于通过维纳 - 辛钦定理可靠地估计功率谱密度，但 (C(\Delta)) 的形式推导较为困难，因为它涉及联合概率分布的概念。这里讨论一种更简单的方法来估计随机游走的功率谱，以避免与联合概率分布相关的问题。

假设测量简单随机游走者每一步的移动方向，将向右移动一步记为 (R)，向左移动一步记为 (L)，方向的突然改变记为“翻转”。简单随机游走者的时间序列形式为：
[
R\cdots\underbrace{RL\cdots LR} {\text{flip}}\cdots\underbrace{RL\cdots} {\text{flip}}
]
假设步长间隔 (\delta n) 足够小，使得在同一步内发生两次翻转的概率近似为零。对于该过程，自相关函数 (C(\Delta))（(\vert\Delta\vert \geq \vert\delta n\vert)）为：
[
C(\Delta) \equiv \langle X(n)X(n + \vert\Delta\vert)\rangle = A^2(p_0(\Delta) - p_1(\Delta) + p_2(\Delta) - p_3(\Delta) + \cdots)
]
其中 (p_{\kappa}(\Delta)) 是在时间间隔 (\Delta) 内恰好发生 (\kappa) 次翻转的概率，(A) 是每一步的长度。

计算 (p_{\kappa}) 的过程如下：在 (\delta n) 内发生翻转的概率是 (\lambda\delta n)，不发生翻转的概率是 (1 - \lambda\delta n)。对于 (n > 0)，在区间 ((n, n + \delta n)) 内恰好发生 (\kappa) 次翻转的状态，要么是在区间 ((0, n)) 内发生 (\kappa - 1) 次事件且在 (\delta n) 内发生一次翻转，要么是在区间 ((0, n)) 内发生 (\kappa) 次事件且在 (\delta n) 内没有新的翻转。由此可得：
[
p_{\kappa}(n + \delta n) = p_{\kappa - 1}(n)\lambda\delta n + p_{\kappa}(n)(1 - \lambda\delta n)
]
当 (\delta n \to 0) 时，有：
[
\frac{dp_{\kappa}(n)}{dn} = \lambda [p_{\kappa - 1}(n) - p_{\kappa}(n)], \quad \kappa > 0
]
当 (\kappa = 0) 时：
[
\frac{dp_0(n)}{dn} = -\lambda p_0(n)
]
且 (p_0(0) = 1)。通过迭代过程可得到：
[
p_{\kappa}(\Delta) = \frac{(\lambda\vert\Delta\vert)^{\kappa}e^{-\lambda\vert\Delta\vert}}{\kappa!}
]
将其与自相关函数表达式结合可得：
[
C(\Delta) = A^2e^{-2\lambda\vert\Delta\vert}
]
利用维纳 - 辛钦定理计算连续随机游走的功率谱 (W(f))，假设随机游走者的步长足够小，可将 (\delta n) 替换为 (dt)，则有：
[
C(\Delta) = \int_{-\infty}^{\infty}W(f)e^{j2\pi f\Delta}df
]
[
W(f) = \int_{-\infty}^{\infty}C(\Delta)e^{-j2\pi f\Delta}d\Delta
]
完成积分后得到：
[
W(f) = \frac{2A^2}{\lambda}\left[\frac{1}{1 + (\pi f / \lambda)^2}\right]
]
该随机过程的噪声谱在 (f \ll \lambda) 时基本“平坦”，在 (f \gg \lambda / \pi) 时以 (1/f^2) 的幂律迅速衰减至零。与布朗运动的功率谱 (W_{brown}) 相比，在 (f \gg \lambda / \pi) 时，离散随机游走和布朗运动的功率谱都与 (f^{-2}) 成正比。在实验应用中，功率谱 (W(f)) 通常在低频时为白噪声，然后以 (f^{-2}) 下降。

5. 异常随机游走

异常随机游走是指 (\langle X^2\rangle) 不随时间线性增加的随机游走。有时，“超扩散”用于描述 (\langle X^2\rangle) 随时间增长速度快于线性的情况。异常扩散在生物学中经常被观察到，确定导致非线性的机制通常是研究的重点。这里主要关注一种异常扩散，即相关随机游走。

6. 相关随机游走

相关随机游走具有性质：
[
\langle R^2(\Delta)\rangle \approx \Delta^{\kappa}
]
其中 (\kappa \neq 1)。对相关随机游走的研究源于曼德布罗特和范内斯关于分数布朗运动的开创性工作。当 (\kappa \neq 1) 时，(\langle R^2\rangle) 不随时间线性增加，且相关随机游走在所有长度尺度上都可能存在长程相关性。

以人类安静站立闭眼时的平衡控制为例，测量安静站立时压力中心的波动有助于识别行动时跌倒风险增加的老年人。一种分析姿势摇摆的方法使用两点相关函数：
[
\langle R^2(\Delta)\rangle \approx \Delta^{2H}
]
其中 (H) 是缩放指数。简单随机游走对应 (H = 0.5)，此时 (\langle R^2(\Delta)\rangle) 与 (\Delta) 的对数 - 对数图是线性的。当 (H > 0.5) 时，存在持续性，即游走者朝特定方向移动时倾向于继续朝该方向移动；当 (H < 0.5) 时，存在反持续性，即过去的增加趋势会导致未来的减少趋势。

实验发现，(\langle R^2(\Delta)\rangle) 与 (\Delta) 的对数 - 对数图通常是非线性的，这表明存在多个与不同 (H) 值相关的缩放区域。已识别出三种不同模式：
- 类型 I ：有两个不同的非振荡区域，一个区域 (H > 0.5)，另一个区域 (H \approx 0)。
- 类型 II ：有三个不同的非振荡区域。
- 类型 III ：有两个不同区域，其中一个是振荡区域。

类型 II 模式受到了最多关注。如果将持续性与开环反馈控制（(H > 0.5)）相关联，将反持续性与闭环反馈控制（(H < 0.5)）相关联，那么可以看到一种用于平衡控制的“漂移和行动”类型控制器的雏形。对于这些不同模式，已经提出了多种解释，例如欧里希和米尔顿提出的模型表明，这些模式可能与噪声和双稳态之间的相互作用有关。在无噪声情况下，存在一系列 (C) 和 (\tau) 的选择使得系统呈现双稳态，表现为两个共存的振荡器。在双稳态区域，加性噪声的作用是导致在两个吸引盆之间切换，这种噪声诱导的切换可以解释图中所示的缩放区域。特别是当 (\Delta) 小于极限环振荡器的周期时，切换只在一个方向发生，如从极限环 1 到极限环 2。

综上所述，随机游走在多个领域都有重要应用，通过对其概率分布、功率谱以及不同类型随机游走的研究，可以深入了解各种现象背后的机制。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法来分析和解释随机游走的行为。

以下是总结表格：
| 内容 | 要点 |
| — | — |
| 简单随机游走与抽样 | 抽样误差随样本量增加而减小，分数误差公式为 (\varepsilon = \frac{1}{\sqrt{N}})，预测样本量是估计值 |
| 作为细胞探针的行走分子 | 金银纳米粒子可用于测量单细胞中分子运动，随机游走性质与纳米粒子在胚胎内位置有关 |
| 随机游走的概率分布函数 | 通过 (P(r,n)) 可确定均值、方差等，不同 (p)、(q) 值下 (P(r,n)) 有不同表达式 |
| 随机游走的功率谱 | 自相关函数 (C(\Delta)) 用于估计功率谱，离散随机游走和布朗运动在 (f \gg \lambda / \pi) 时功率谱与 (f^{-2}) 成正比 |
| 异常随机游走 | (\langle X^2\rangle) 不随时间线性增加，关注相关随机游走 |
| 相关随机游走 | 以人类平衡控制为例，不同 (H) 值对应不同性质，存在三种模式及相关解释 |

下面是随机游走研究流程的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[确定研究对象] --> B[选择研究方法]
    B --> C{是否为简单随机游走}
    C -- 是 --> D[计算抽样误差、概率分布等]
    C -- 否 --> E{是否为相关随机游走}
    E -- 是 --> F[分析缩放指数、模式等]
    E -- 否 --> G[考虑异常随机游走机制]
    D --> H[得出结论并应用]
    F --> H
    G --> H

随机游走相关知识解析（续）

7. 相关随机游走的其他应用示例

除了人类安静站立时的平衡控制，相关随机游走在其他领域也有诸多应用。

在动物行为研究中，动物的觅食活动常常表现出相关随机游走的特征。例如，一些鸟类在寻找食物时，其飞行路径并非完全随机。当它们在某一区域发现有食物迹象时，会倾向于在该区域继续搜索，这体现了持续性（类似于 (H > 0.5) 的情况）。而当在一个区域长时间未找到食物时，它们会改变方向，前往其他区域，这又类似于反持续性（(H < 0.5)）。通过分析鸟类的飞行路径的均方位移与时间间隔的关系，我们可以确定其觅食行为中相关随机游走的参数，从而更好地理解它们的觅食策略和生态习性。

在金融市场中，股票价格的波动也可以用相关随机游走的概念来分析。股票价格的走势并非完全无规律可循，在某些时间段内，价格可能会持续上涨或下跌，这体现了持续性。而在另一些时候，价格可能会出现反转，前期的上涨趋势被下跌趋势所取代，这类似于反持续性。通过对股票价格时间序列的分析，计算其均方位移与时间间隔的关系，我们可以判断股票市场在不同时间段的稳定性和趋势性，为投资者提供决策参考。

下面是相关随机游走在不同领域应用的对比表格：
| 应用领域 | 体现方式 | 研究意义 |
| — | — | — |
| 人类平衡控制 | 压力中心波动分析 | 识别老年人跌倒风险 |
| 动物觅食行为 | 飞行路径分析 | 理解动物觅食策略和生态习性 |
| 金融市场 | 股票价格波动分析 | 为投资者提供决策参考 |

8. 随机游走分析方法总结

在研究随机游走时，我们使用了多种方法，下面对这些方法进行总结：

8.1 概率分布函数法

通过计算经过 (n) 步后游走者到达位置 (X = r) 的概率 (P(r,n))，可以确定均值、方差等重要统计量。具体步骤如下：
1. 确定 (P(r,n)) 的表达式，满足 (\sum_{r = -\infty}^{\infty}P(r,n) = 1)。
2. 利用生成函数 (Q(s,n) = \sum_{r = -\infty}^{+\infty}s^rP(r,n)) 来确定矩。
3. 对 (Q(s,n)) 关于 (s) 求导得到均值，二阶求导结合均值可计算方差。

8.2 功率谱估计法

通过自相关函数 (C(\Delta)) 来估计功率谱 (W(f))，步骤如下：
1. 定义自相关函数 (C(\Delta) \equiv \langle X(n)X(n + \vert\Delta\vert)\rangle)。
2. 计算在时间间隔 (\Delta) 内恰好发生 (\kappa) 次翻转的概率 (p_{\kappa}(\Delta))。
3. 结合 (p_{\kappa}(\Delta)) 得到 (C(\Delta)) 的表达式 (C(\Delta) = A^2e^{-2\lambda\vert\Delta\vert})。
4. 利用维纳 - 辛钦定理 (C(\Delta) = \int_{-\infty}^{\infty}W(f)e^{j2\pi f\Delta}df) 和 (W(f) = \int_{-\infty}^{\infty}C(\Delta)e^{-j2\pi f\Delta}d\Delta) 计算功率谱 (W(f))。

8.3 均方位移分析法

通过分析均方位移 (\langle R^2(\Delta)\rangle) 与时间间隔 (\Delta) 的关系，判断随机游走的类型和性质。例如：
- 在简单随机游走中，二维时 (\langle R^2(\Delta)\rangle = 4D\Delta)，三维时 (\langle R^2(\Delta)\rangle = 6D\Delta)。
- 在相关随机游走中，(\langle R^2(\Delta)\rangle \approx \Delta^{\kappa})，通过计算 (\kappa) 或缩放指数 (H) 来分析其性质。

下面是随机游走分析方法的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[获取随机游走数据] --> B[选择分析方法]
    B --> C{概率分布函数法}
    B --> D{功率谱估计法}
    B --> E{均方位移分析法}
    C --> F[计算P(r,n)、Q(s,n)等] --> G[确定均值、方差等]
    D --> H[计算C(Δ)、pκ(Δ)等] --> I[计算功率谱W(f)]
    E --> J[分析〈R^2(Δ)〉与Δ关系] --> K[判断随机游走类型和性质]
    G --> L[得出结论并应用]
    I --> L
    K --> L

9. 不同类型随机游走的特点对比

为了更清晰地理解不同类型随机游走的特点，我们将简单随机游走、相关随机游走和异常随机游走进行对比：
| 随机游走类型 | 均方位移与时间关系 | 特点 | 应用场景 |
| — | — | — | — |
| 简单随机游走 | 线性关系，如二维 (\langle R^2(\Delta)\rangle = 4D\Delta) | 每一步的移动相互独立，无长程相关性 | 抽样估计、简单物理模型 |
| 相关随机游走 | (\langle R^2(\Delta)\rangle \approx \Delta^{\kappa})，(\kappa \neq 1) | 可能存在长程相关性，有持续性或反持续性 | 生物运动、金融市场 |
| 异常随机游走 | (\langle X^2\rangle) 不随时间线性增加 | 运动机制复杂，可能涉及特殊因素 | 生物学复杂系统、复杂物理过程 |

通过这种对比，我们可以根据实际问题的特点选择合适的随机游走模型进行分析。

10. 随机游走研究的未来展望

随机游走的研究在多个领域都取得了重要进展，但仍有许多问题有待进一步探索。

在理论方面，对于复杂随机游走模型的精确求解和分析方法还需要不断完善。例如，对于涉及多个因素相互作用的相关随机游走模型，如何更准确地确定其参数和性质是一个挑战。

在应用方面，随着科技的发展，随机游走的应用场景将不断拓展。例如，在人工智能领域，随机游走可以用于模拟智能体的探索行为，提高其在未知环境中的学习和决策能力。在医学领域，随机游走可以用于研究细胞的迁移和扩散，为疾病的诊断和治疗提供新的思路。

未来，我们需要加强不同学科之间的交叉融合，将随机游走的理论和方法应用到更多实际问题中，推动相关领域的发展。

综上所述，随机游走是一个充满活力和潜力的研究领域，通过不断深入研究和探索，我们将能够更好地理解和利用随机现象，为解决实际问题提供有力的支持。