41、贝叶斯推断与实验室评估：原理、应用与实践

贝叶斯推断与实验室评估：原理、应用与实践

1. 贝叶斯定理基础应用

在概率统计领域，贝叶斯定理是一个强大的工具，可用于解决各种涉及条件概率的问题。例如，有一个检测机器，其准确率为 95%，而人们忘记在包里留一瓶水的概率仅为 1%。当检测机器检测到包有可疑情况时，我们想知道包里实际有一瓶水的概率。
- 事件定义 ：
- 设事件 A 为“包里有一瓶水”。
- 设事件 B 为“检测器发出可疑信号”。
- 概率计算 ：
- (P(A) = 0.01)，表示包里有一瓶水的先验概率。
- (P(\overline{A}) = 0.99)，即包里没有一瓶水的概率。
- (P(B|A) = 0.95)，意味着包里有一瓶水时检测器发出可疑信号的概率。
- (P(B|\overline{A}) = 0.05)，表示包里没有一瓶水时检测器误发可疑信号的概率。
- 应用贝叶斯定理 ：
[P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}=\frac{(0.95)(0.01)}{(0.95)(0.01)+(0.05)(0.99)}\approx0.161]
这表明当检测器发出可疑信号时，包里实际有一瓶水的概率约为 0.16。很多人可能会对这个结果感到奇怪，因为检测器准确率高达 95%，但在扫描前包里有一瓶水的概率仅为 0.01，使用检测器后该概率提高了 15 倍多。这体现了检测罕见事件的难度，类似情况也出现在用高精度医疗测试检测罕见疾病时。

2. 一般贝叶斯定理的扩展

简单形式的贝叶斯定理可以进一步扩展，以处理具有多个可能原因的推断问题。假设有 n 个可能的原因，事件 (A_i) 相互排斥，即 (A_i \cap A_j = \varnothing)（(\forall i \neq j)），且 (\sum_{i = 1}^{n}P(A_i) = 1)（(P(A_i) > 0)，(\forall i)）。此时，贝叶斯定理可表示为：
[P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i = 1}^{n}P(B|A_i)P(A_i)}]（(P(B) > 0)）
例如，某人患了重感冒，医生建议服用三种不同的药物 (A_1)、(A_2)、(A_3)，服用后出现了胃痛症状。已知这些药物导致胃痛的概率分别为 (A_1)：5%，(A_2)：10%，(A_3)：15%。假设只有一种药物导致胃痛，我们可以使用扩展后的贝叶斯定理来估计最可能的原因。
- 事件定义 ：
- 设 (A_i) 为“药物 (A_i) 导致胃痛”（(i = 1,2,3)）。
- 设 B 为“出现胃痛症状”。
- 概率计算 ：
- (P(B|A_1) = 0.05)
- (P(B|A_2) = 0.10)
- (P(B|A_3) = 0.15)
由于没有更多信息，我们根据“不充分理由原则”假设 (P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = 1/3)。然后使用贝叶斯定理计算：
- (P(A_1|B) = 1/6 \approx 0.17)
- (P(A_2|B) = 1/3 \approx 0.33)
- (P(A_3|B) = 1/2 = 0.5)
这里，条件概率的比例 (P(A_1|B) : P(A_2|B) : P(A_3|B) = P(B|A_1) : P(B|A_2) : P(B|A_3) = 1 : 2 : 3)，这是假设 (P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = 1/3) 的结果。

3. 利用贝叶斯定理的具体步骤

为了有效利用贝叶斯定理，可遵循以下步骤：
1. 明确事件 ：根据给定信息，清晰地标记观察结果和可能的原因。
2. 检查假设 ：确认这些事件是否满足应用定理所需的假设，如原因的互斥性和 (\sum_{i = 1}^{n}P(A_i) = 1)。
3. 列出概率 ：列出定理右侧出现的相关概率。如有需要，合理推断估计相关概率。
4. 计算概率 ：使用定理计算所需的条件概率。

4. 先验概率和后验概率

在贝叶斯定理的应用中，涉及到两个重要的概念：先验概率和后验概率。在定理 (P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i = 1}^{n}P(B|A_i)P(A_i)}) 中，(P(A_i))（事件 B 发生前）称为“先验概率”，(P(A_i|B))（事件 B 发生后）称为“后验概率”。可以用侦探故事来类比，随着证据的增加，对多个嫌疑人的怀疑程度会不断更新。贝叶斯定理以自然且熟悉的方式通过事件（证据、观察）连接或更新先验概率和后验概率。

5. 贝叶斯更新

贝叶斯更新是指利用贝叶斯定理，将前一次推断得到的后验概率作为下一次推断的先验概率，不断迭代更新概率的过程。以一个盗窃案为例，有三个嫌疑人 1、2、3。
- 初始先验概率 ：根据不充分理由原则，(P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = 1/3)。
- 第一次证据更新 ：得到关于嫌疑人在案发半小时后与案发地点距离的信息 B，估计条件概率为 (P(B|A_1) = 0.10)，(P(B|A_2) = 0.15)，(P(B|A_3) = 0.25)。使用贝叶斯定理计算后验概率：
- (P(A_1|B) = 0.2)
- (P(A_2|B) = 0.3)
- (P(A_3|B) = 0.5)
- 第二次证据更新 ：进一步调查得到嫌疑人现金持有量的新信息 C，估计条件概率 (P(C|A_1) = 0.05)，(P(C|A_2) = 0.70)，(P(C|A_3) = 0.10)。此时，将第一次更新后的后验概率作为先验概率，即 (P(A_1) = P(A_1|B) = 0.2)，(P(A_2) = P(A_2|B) = 0.3)，(P(A_3) = P(A_3|B) = 0.5)。再次使用贝叶斯定理计算更新后的概率：
- (P(A_1|B;C) = 0.037)
- (P(A_2|B;C) = 0.778)
- (P(A_3|B;C) = 0.185)
这表明在考虑两个证据 B 和 C 后，嫌疑人 2 更有可能是罪犯。也可以将两个证据 B 和 C 同时考虑，通过计算 (P(B;C|A_i)) 来得到相同的结果。随着更多信息或证据的出现，可以不断重复贝叶斯更新过程。

6. 蒙提霍尔问题

蒙提霍尔问题是一个著名的概率问题，生动地展示了条件概率概念的微妙之处。问题设定如下：
1. 节目中有三扇关闭的门 A、B、C，奖品随机放在其中一扇门后，每扇门有奖品的概率均为 1/3。
2. 主持人知道奖品位置，邀请观众猜门，不妨设观众选了门 A。
3. 主持人打开 B、C 中没有奖品的一扇门，不妨设打开的是门 B，此时观众知道奖品在 A 或 C 后。
4. 主持人给观众机会从门 A 切换到门 C。
问题是观众选择不同门赢得奖品的概率，有三种可能情况：
1. 切换或不切换没有区别。
2. 观众最好保持选择门 A。
3. 观众最好切换到门 C。
使用贝叶斯定理分析该问题：
- 事件定义 ：
- A：奖品在门 A 后。
- B：奖品在门 B 后。
- C：奖品在门 C 后。
- (B_o)：门 B 被打开。
- 初始概率 ：(P(A) = P(B) = P(C) = 1/3)。
- 计算条件概率 ：
- (P(B|B_o) = 0)，因为门 B 打开后知道后面没有奖品。
- 计算 (P(A|B_o)) 和 (P(C|B_o))：
[P(A|B_o)=\frac{P(B_o|A)P(A)}{P(B_o|A)P(A)+P(B_o|B)P(B)+P(B_o|C)P(C)}]
[P(C|B_o)=\frac{P(B_o|C)P(C)}{P(B_o|A)P(A)+P(B_o|B)P(B)+P(B_o|C)P(C)}]
其中 (P(B_o|A)P(A) = 1/2)，(P(B_o|B)P(B) = 0)，(P(B_o|C)P(C) = 1)。计算可得 (P(A|B_o) = 1/3)，(P(C|B_o) = 2/3)。
这表明观众切换到门 C 赢得奖品的概率更大。虽然一开始每扇门有奖品的概率均为 1/3，但主持人打开门 B 这一行为更新了概率。对于不相信这个结论的人，可以编写简单的计算机程序模拟游戏，会发现切换门赢得奖品的机会约为不切换的两倍。

7. 贝叶斯定理在神经科学中的应用

贝叶斯统计为将新信息与先验信念相结合以改进对当前行为的估计提供了强大的方法。在神经科学中有两个应用示例：
- 运动学习中的适应作用 ：在理解运动学习中适应的作用时，先验概率描述了关于被观察对象物理状态的先前知识，似然概率描述了用于更新先验概率的新感官信息，后验概率描述了对物理状态的更新估计。
- 神经系统对不同感官信息的整合 ：神经系统整合不同感官信息以解释外部世界的过程似乎遵循贝叶斯估计原则。一个简单的视听整合模型假设负责听觉和视觉定位的神经系统区域是拓扑组织的，每个区域接收来自外部环境的特定模态信息和跨模态输入。受体场的宽度对应于似然概率，每个感受野中的位置是先验空间概率，后验概率是视听刺激同时出现的概率，并编码在跨模态突触中。

8. 实验室评估

传统上，对波动（即噪声）的表征涉及测量噪声的三个主要属性：强度、概率密度函数（pdf）和自相关函数。在分析统计特性之前，实验人员通常会从时间序列中减去均值。
- 强度 ：随机过程的强度等于其方差，但生物医学工程师通常使用均方根值（rms）：
[x_{rms}=\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}}]
当均值为 0 时，(x_{rms}) 等于标准差；当均值不为 0 时，(x_{rms}) 不等于标准差。对于两个独立信号，((x + y) {rms}=\sqrt{x {rms}^2 + y_{rms}^2})。
- 概率密度函数的估计 ：从实验测量确定 pdf 的标准方法是将变量的观察范围划分为 n 个相等的不相交区间。假设变量 x 取值范围在 [0, 1)，则第 i 个区间为 ([\frac{i - 1}{n}, \frac{i}{n}))（(i = 1, \cdots, n)）。通过将每个区间内的事件数 (x_i) 除以总数据点数 N 来估计 pdf：
[f_i=\frac{x_i}{N}]
且 (\sum_{i = 1}^{n}f_i = 1)。但这种直接方法存在两个问题：一是区间大小选择是任意的，可能会丢失信息；二是随着 pdf 中不同变量数量的增加，为使区间有足够统计意义所需的点数呈指数增长。例如，人群中行人步行速度的分布可以用麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布近似，这表明人群行为具有一定的可预测性。此外，某些混沌确定性动力系统也可以用 pdf 来表征。

贝叶斯推断与实验室评估：原理、应用与实践

9. 实验室评估示例

在实验室评估中，对噪声属性的测量有着实际的应用案例，下面为大家详细介绍。

9.1 行人速度分布的概率密度函数

行人在街道上的运动看似复杂，但通过对其速度分布的研究，我们可以发现一定的规律。以悉尼街头行人的运动为例，研究人员测量了行人在 x 方向上速度与均值的差值的概率密度函数（pdf）。

实验过程中，将行人速度的观察范围进行区间划分，统计每个区间内的行人数量，进而得到相应的概率密度。结果显示，行人的步行速度分布可以用麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布来近似，其公式为：
[p(v)=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1}{2}}\frac{v^2e^{-\frac{v^2}{2a^2}}}{a^3}]
其中 (a = \sqrt{\frac{kT}{m}})，(k) 是玻尔兹曼常数，(T) 是温度。这一结果表明，尽管行人有各自的偏好和目的地，但人群行为具有一定的可预测性。随着人群密度的增加，个体之间的排斥相互作用会影响行人的运动，从而导致各种自组织现象的出现，这对于生活空间的设计和人群控制具有重要意义。

9.2 混沌确定性动力系统的概率密度函数

除了随机过程，某些混沌确定性动力系统也可以用概率密度函数来表征。例如，二次映射所对应的概率密度函数可以通过实验测量和理论预测进行研究。

实验中，将变量的取值范围划分为多个区间，统计每个区间内的事件数量，计算得到相应的概率密度。理论上，该概率密度函数的预测公式为：
[p(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{x(1 - x)}}]
通过对比实验测量结果和理论预测结果，可以验证概率密度函数在混沌确定性动力系统中的应用。

10. 总结与展望

贝叶斯推断和实验室评估在概率统计和实际应用中都具有重要的地位。贝叶斯定理为我们处理条件概率问题提供了强大的工具，通过不断更新概率，我们可以更准确地推断事件的可能性。在实际应用中，贝叶斯推断在神经科学、决策分析等领域都有着广泛的应用。

实验室评估则为我们研究随机过程和混沌系统提供了有效的方法。通过测量噪声的强度、概率密度函数和自相关函数，我们可以深入了解系统的特性。在实际应用中，实验室评估在信号处理、生物医学等领域都有着重要的作用。

未来，随着数据量的不断增加和计算能力的不断提高，贝叶斯推断和实验室评估的应用将会更加广泛。我们可以期待在更多的领域中看到它们的身影，为解决实际问题提供更加有效的方法。

11. 流程图展示

下面通过 mermaid 格式的流程图来展示贝叶斯更新的过程：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([初始先验概率]):::startend --> B(获取证据 1):::process
    B --> C(计算后验概率 1):::process
    C --> D{是否有新证据}:::decision
    D -- 是 --> E(获取证据 2):::process
    E --> F(将后验概率 1 作为先验概率):::process
    F --> G(计算后验概率 2):::process
    G --> D
    D -- 否 --> H([最终后验概率]):::startend

12. 表格总结

为了更清晰地总结贝叶斯推断和实验室评估的相关内容，下面列出一个表格：
| 类别 | 具体内容 | 相关公式 |
| ---- | ---- | ---- |
| 贝叶斯定理 | 简单形式 | (P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}) |
| | 扩展形式 | (P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{i = 1}^{n}P(B|A_i)P(A_i)}) |
| 先验概率和后验概率 | 先验概率 | (P(A_i)) |
| | 后验概率 | (P(A_i|B)) |
| 贝叶斯更新 | 迭代过程 | 前一次的后验概率作为下一次的先验概率 |
| 实验室评估 | 强度 | (x_{rms}=\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}}) |
| | 概率密度函数 | (f_i=\frac{x_i}{N})，(\sum_{i = 1}^{n}f_i = 1) |

通过以上的介绍，我们对贝叶斯推断和实验室评估有了更深入的了解。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法，以获得更准确的结果。