10、动态系统的稳定性与相关模型分析

动态系统的稳定性与相关模型分析

1. 立方非线性与可兴奋细胞

1.1 极限环的存在性

在动态系统中，两种相反趋势相互作用会产生怎样的行为呢？庞加莱 - 本迪克松定理指出，在固定点周围必定存在一个封闭轨迹。假设不存在极限环，那么在某个时刻，轨迹必然会与之前的轨迹相交。在交点处，((dx/dt,dy/dt)) 会有两个不同的值，这就违背了解的唯一性，即每个初始点只有一个解。所以，唯一避免这个问题的方法就是假设存在一个环绕固定点的封闭曲线，这个封闭轨迹被称为极限环。

1.2 范德波尔振荡器的极限环

与固定点为中心时出现的封闭轨迹（如洛特卡 - 沃尔泰拉模型）不同，范德波尔振荡器中的极限环是稳定的。如果从极限环内部的一点开始，系统会向外演化到极限环；如果从外部一点开始，系统会向内演化到极限环。因此，极限环是动态系统的一个与初始条件选择无关的时间相关解。不过，固定点是不稳定的。范德波尔振荡器是第一个即使固定点不稳定，但在某种意义上“稳定”的动态系统的例子，它代表了一种远离平衡态演化的现象。也存在表现出不稳定极限环振荡的动态系统。

1.3 菲茨休 - 南云方程

第一个将立方非线性与神经元兴奋性联系起来的数学模型是菲茨休 - 南云方程（FHN），它由两个常微分方程组成：
[
\begin{cases}
\frac{dv}{dt} = f(v) - w + I_{ext} \
\frac{dw}{dt} = bv - \gamma w
\end{cases}
]
其中，(v) 代表膜电位，(w) 是恢复变量，(I_{ext}) 是外部施加的电流，(f(v)