5、计算复杂性与量子信息中的离散和连续变量

计算复杂性与量子信息中的离散和连续变量

1. 计算复杂性基础

在计算复杂性领域，有一些关键概念和问题值得深入探讨。例如，对于图 (G = (V, E))，它存在哈密顿路径的充要条件是旅行商问题中存在距离严格小于 (n + 2) 的巡回路线。若能在多项式时间内验证后者，就意味着存在解决哈密顿路径问题的多项式算法，进而证明 (P = NP)。像旅行商问题（TSP）这类不属于 (NP) 但如果能多项式求解就意味着 (P = NP) 的问题，被称为 (NP) 难问题。

由于已经证明 TSP 是 (NP) 难问题，所以 TSP 的多项式时间算法很可能不存在。因此，我们应专注于能得到较好（但不一定是最优）巡回路线的多项式算法。

接着考虑反向问题：如果一个优化问题的决策变体属于 (P)，这是否意味着存在该优化或评估变体的多项式算法呢？这需要证明不等式 (P(O) \leq P(E) \leq P(D)) 的逆命题。

• (P(E) \leq P(D))：当最优解的成本是一个整数，且其对数受输入规模的多项式约束时，该不等式成立。对应的多项式约简通过询问 “(c^ \leq B) 吗？” 来评估最优成本 (c^ )，其中 (B) 是一系列趋近于 (c^*) 的值，类似于求函数零点的二分法。
• (P(O) \leq P(E))：对于 TSP 问题，可以通过以下策略证明。设 (c^ ) 是 TSP(E) 的已知解，将距离矩阵中的任意元素 (d_{ij}) 替换为大于 (c^ ) 的值 (c)，并使用修改后的距离矩阵求解 TSP(E)。如果最优巡回路线的长度不受此修改影响，则链接 (ij) 不属于最优巡回路线