19、MATLAB 应用：从交通流模型到实践问题求解

MATLAB 应用：从交通流模型到实践问题求解

1. 交通流模型的理论分析

在交通流模型中，涉及到特征值和稳定性的分析。已知向量 (v) 是矩阵 (S) 对应特征值 (1 + (\alpha / \lambda)e^{\alpha T}) 的特征向量。由于 (S) 的特征值是单位根，它们在复平面的单位圆上均匀分布，并且当 (N) 很大时，这些特征值会紧密排列。当对于某些实部为正的 (\alpha)，(1 + (\alpha / \lambda)e^{\alpha T}) 的绝对值为 1 时，就存在潜在的不稳定性。也就是说，当对于某些实部为正的 (\alpha T)，((\alpha T / \lambda T)e^{\alpha T}) 可以表示为 (e^{i\theta} - 1) 的形式时，可能出现不稳定情况。是否发生不稳定取决于乘积 (\lambda T) 的值。

我们可以通过绘制 (z = \alpha T = iy)（(z) 是临界线 (\text{Re}(z) = 0) 上的复数）时 (z\exp(z)) 的值，并与不同参数 (\lambda T) 下 (\lambda T(e^{i\theta} - 1)) 的图形进行比较来观察这一点。以下是相关的 MATLAB 代码：

syms y; 
expand(i*y*(cos(y) + i*sin(y)))
ans =
i*y*cos(y)-y*sin(y)
ezplot(-y*sin(y), y*cos(y), [-2*pi, 2*pi]); 
hold on
theta = 0:0.05*pi:2*pi;
plot((1/2)*(cos(theta) - 1