7、异步广播式分布式优化算法分析与验证

异步广播式分布式优化算法分析与验证

1. 定理与推论概述

1.1 定理 4.10

假设问题 (4.1) 存在非空最优解集 $X^ $，且假设 4.1 - 4.4 成立，那么序列 ${\theta_i (k)}$（由式 (4.12) 定义）几乎必然收敛到问题 (4.11) 最优解集 $\Omega^ $ 中的最优解。

1.2 推论 4.11（误差界）

在定理 4.10 的条件下，定义 $\hat{z} (k) = (1/\upsilon (k)) \sum_{l=1}^{k} (\bar{z} (l) /l)$ 和 $e (k) = c^T (\hat{z} (k) - \theta^*)$，其中 $\upsilon (k) = \sum_{l=1}^{k} (1/l)$。则有：
- $0 \leq E [e (k)] \leq \frac{D(k)}{\eta_{min}\upsilon(k)}$
- $\sum_{l=1}^{k} E [|\bar{\theta} (k) - \bar{z} (l + 1)|^2] \leq \frac{D(k)}{\vartheta}$

其中，$\bar{z} (l)$ 是可行解，$D (k) = \exp(\sum_{l=1}^{k} a (l)) (\sum_{i=1}^{N} \pi_i |\theta_i (1) - \theta^ |^2 + |c|^2 \sum_{l=1}^{k} b (l) \sum_{i=1}^{N} \pi_i\eta_i) + c^T (\bar{z} (1) - \theta^ ) <