22、递归算法与流操作的探索

递归算法与流操作的探索

1. 递归算法的正确性证明

1.1 汉诺塔问题的移动次数

在汉诺塔问题中，移动不同数量的圆盘所需的移动次数有规律可循。移动 3 个圆盘需要 7 次移动，4 个圆盘需要 15 次移动，5 个圆盘需要 31 次移动。一般来说，移动由 n 个圆盘组成的塔需要 (2^n - 1) 次圆盘移动。若有 100 个圆盘，移动次数将达到 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,375 次。如果僧侣们每秒移动一个圆盘，完成整个任务大约需要 (4\times10^{22}) 年。

1.2 递归归纳法证明

递归算法的正确性可以使用递归归纳法来证明。递归深度的定义为：当一个调用执行时没有发生递归调用，递归深度为 0；否则，它比该调用所导致的所有后续调用的最大递归深度大 1。

例如：
- 1 transportTowerFrom: 'copper' to: 'gold' with: 'silver' 的递归深度为 0，因为没有额外的递归调用发生。
- 2 transportTowerFrom: 'copper' to: 'gold' with: 'silver' 会导致两个额外的调用，每个调用的递归深度为 0，所以它的递归深度为 (0 + 1 = 1)。

一般来说， n transportTowerFrom: 'c1' to: 'c2' with: 'c3' 的递归深度为 (n - 1)。

使用递归归纳法进行证明的步骤如下：
1. 阐述算法必