50、泛函极值问题的求解与分析

泛函极值问题的求解与分析

1. 泛函相关方程的求解

在处理泛函问题时，常常需要求解各种方程，包括欧拉方程、奥斯特罗格拉茨基方程等。
- 奥斯特罗格拉茨基方程求解示例 ：对于泛函 (F = \frac{EA}{R}(u’ - w)^2 + \frac{EI}{R^3}(u’ + w’‘)^2 - 2R(pu + qw) - p(u^2 + uw’) - q(uw’ + w’^2))，通过求其各偏导数 (F_u)、(F_{u’})、(F_w)、(F_{w’})、(F_{w’‘})，进而得到奥斯特罗格拉茨基方程：
- (F_{u’} = \frac{EA}{R}(u’’ - w’) + \frac{EI}{R^3}(u’’ + w’‘’) + p(R + u) + \frac{w’(p + q)}{2}= 0)
- (\frac{EI}{R^3}(u’‘’ + w^{(4)}) + \frac{(p’ + q’)u+(p + q)u’}{2}+ q’w’ + qw’’ - \frac{EA}{R}(u’ - w) - Rq = 0)
- 欧拉方程求解示例 ：对于泛函 (J[u, u^ ] = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}\int_{x_0}^{x_1} [i(u^ u_t - u^ _t u) + au^ u + bu^ _x u_x + c(u^ u)^2]dxdt)，设被积函数 (F = i(u^ u_t - u^ t u)+au^ u+bu^ _x u_x + c(u^ u)^2)，求其各偏导数 (F_{u^ })、(F {u^ t})、(F {u^ x})、(F_u)、(F {u_t})、(F_{u_x})，得到欧拉方程：
- (2iu_t + au + 2cu^ u^2 - bu_{xx} = 0)
- (-2iu^ t + au^ + 2cu^{ 2}u - bu^{*} {xx} = 0)

2. 基本变分问题的极值曲线

证明某些基本变分问题的极值曲线可以包含在极值曲线场（正常或中心）中。
| 泛函 (J[y]) | 边界条件 | 欧拉方程 | 极值曲线 | 极值曲线场情况 |
| — | — | — | — | — |
| (\int_{0}^{1} (y’^2 - 2xy)dx) | (y(0) = y(1) = 0) | (y’’ + x = 0) | (y = \frac{x}{6}(1 - x^2)) | 包含在以原点 ((0, 0)) 为中心的中心场 (y = c_1x - \frac{x^3}{6}) 中 |
| (\int_{0}^{1} (2e^x y + y’^2)dx) | (y(0) = 1)，(y(1) = e) | (y’’ - e^x = 0) | (y = e^x) | 包含在由极值曲线族 (y = e^x + c) 形成的正常场中 |

下面是一个简单的 mermaid 流程图，展示求解泛函极值曲线的一般步骤：

graph TD;
    A[给定泛函 J[y]] --> B[求欧拉方程];
    B --> C[求解欧拉方程得到通解];
    C --> D[根据边界条件确定特解（极值曲线）];
    D --> E[判断极值曲线是否在极值曲线场中];

3. 泛函极值性质的讨论

对于不同的泛函，需要讨论其极值性质，包括是否能达到强极值、弱极值等。
- 示例 1：(J[y] = \int_{0}^{2} (xy’ + y’^2)dx)，(y(0) = 1)，(y(2) = 0)
- 首先，求欧拉方程：(\frac{d}{dx}(x + 2y’) = 0)，得到 (y’ = -\frac{x}{2} + c_1)，再积分得 (y = -\frac{x^2}{4} + c_1x + c_2)。
- 根据边界条件确定 (c_1 = 0)，(c_2 = 1)，极值曲线为 (y = 1 - \frac{x^2}{4})。
- 该函数 (y = -\frac{x^2}{4} + c_2) 在区间 ([1, 2]) 形成中心场，且 (y = 1 - \frac{x^2}{4}) 在该场中。
- 求解雅可比方程，得到解 (u = x)，因为 (u) 除 (x_0 = 0) 外无其他零点，满足雅可比强条件。
- 计算魏尔斯特拉斯函数 (E = u^2 \geq 0)，所以极值曲线 (y = 1 - \frac{x^2}{4}) 取强最小值。
- 示例 2：(J[y] = \int_{0}^{x_1} (y’^2 + 2yy’ - 16y^2)dx)，(x_1 > 0)，(y(0) = 0)，(y(x_1) = 0)
- 由相关问题可知解为 (y = c_1 \cos 4x + c_2 \sin 4x)，根据边界条件 (y(0) = 0) 得 (c_1 = 0)，再由 (y(x_1) = 0) 得 (x_1 = \frac{\pi}{4}) 或 (c_2 = 0)，极值曲线为 (y = 0)。
- (y = c_2 \sin 4x) 在区间 ((0, \frac{\pi}{4})) 以原点 ((0,0)) 为中心形成极值曲线场。
- 因为 (F_{y’y’} = 2 > 0) 恒成立，所以当 (0 < x_1 < \frac{\pi}{4}) 时，(y = c_2 \sin 4x) 达到强最小值；当 (x_1 > \frac{\pi}{4}) 时，无最小值。

4. 泛函的其他相关计算

• 求泛函的二阶和三阶变分 ：对于泛函 (J[y] = \int_{0}^{1} (xy + y^2 - 2y^2y’)dx)，设 (F = xy + y^2 - 2y^2y’)，则二阶变分 (\delta^2J = \int_{0}^{1}[(2 - 4y’)(\delta y)^2 - 8y\delta y\delta y’]dx)，三阶变分 (\delta^3J = -\int_{0}^{1}12(\delta y)^2\delta y’dx)。
• 求满足特定边界条件的雅可比方程的解 ：对于泛函 (J[y] = \int_{x_0}^{x_1} (x^2 + y^2 + y’^2)dx)，边界条件 (y(x_0) = 0)，(y(x_1) = y_1)，先求欧拉方程 (2y - 2y’’ = 0)，通解为 (y = c_1e^x + c_2e^{-x})，进而得到雅可比方程通解 (u = d_1e^x + d_2e^{-x})，根据边界条件 (u(0) = 0)，(u’(0) = 1)，解得 (d_1 = \frac{1}{2})，(d_2 = -\frac{1}{2})，所以 (u(x) = \sinh x)。

5. 更多泛函极值曲线的求解与性质分析

继续探讨不同泛函的极值曲线求解以及其极值性质。
| 泛函 (J[y]) | 边界条件 | 欧拉方程 | 极值曲线 | 极值性质 |
| — | — | — | — | — |
| (\int_{1}^{2} (x^2y’^2 + 12y^2)dx) | (y(1) = 1)，(y(2) = 0) | (x^2y’’ + 2xy’ - 12y = 0) | (y = x^3) | 满足雅可比强条件，魏尔斯特拉斯函数 (E = x^2u^2 > 0)，取强最小值 |
| (\int_{x_0}^{x_1} \frac{1 + y^2}{y’^2}dx) | (y(x_0) = y_0)，(y(x_1) = y_1) | - | (y = \sinh(\frac{\arcsinhy_1 - \arcsinhy_0}{x_1 - x_0}x + \frac{x_1\arcsinhy_0 - x_0\arcsinhy_1}{x_1 - x_0})) | 不能取得强极值，(F_{y’y’} = \frac{6(1 + y^2)}{y’^4} > 0)，可取得弱最小值 |
| (\int_{0}^{1} (y’^2 + y^2 + 2ye^{2x})dx) | (y(0) = \frac{1}{3})，(y(1) = \frac{1}{3}e^{2}) | (y’’ - y = e^{2x}) | (y = \frac{1}{3}e^{2x}) | 满足雅可比强条件，魏尔斯特拉斯函数 (E = u^2 > 0)，取强最小值 |

下面是一个 mermaid 流程图，展示分析泛函极值性质的一般步骤：

graph TD;
    A[给定泛函 J[y]及边界条件] --> B[求欧拉方程并确定极值曲线];
    B --> C[判断极值曲线是否在极值曲线场中];
    C --> D[求解雅可比方程并判断是否满足雅可比强条件];
    D --> E[计算魏尔斯特拉斯函数判断极值性质];

6. 特殊泛函的极值情况讨论

针对一些特殊形式的泛函，讨论其极值情况。
- (J[y] = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (y^2 - y’^2 + 6y\sin 2x)dx)，(y(0) = 0)，(y(\frac{\pi}{4}) = 1)
- 欧拉方程为 (y’’ + y = -3\sin 2x)，通解为 (y = c_1\cos x + c_2\sin x + \sin 2x)，根据边界条件得 (c_1 = c_2 = 0)，极值曲线为 (y = \sin 2x)。
- 魏尔斯特拉斯函数 (E = -u^2 < 0)，所以 (y = \sin 2x) 取强最大值。
- (J[y] = \int_{0}^{x_1} \frac{dx}{y’})，(y(0) = 0)，(y(x_1) = y_1)，(x_1 > 0)，(y_1 > 0)
- 欧拉方程为 (\frac{d}{dx}(-\frac{1}{y’^2}) = 0)，通解为 (y = c_1x + c_2)，根据边界条件得 (c_1 = \frac{y_1}{x_1})，(c_2 = 0)，极值曲线为 (y = \frac{y_1}{x_1}x)。
- 魏尔斯特拉斯函数 (E = \frac{u^2(3y’ + 2u)}{(y’ + u)^2y’^3})，其符号不能确定，不能取得强极值，但 (F_{y’y’} = \frac{2}{y’^3} > 0)，可取得弱最小值。

7. 利用不同条件判断泛函极值

• 利用勒让德条件判断
  • 对于泛函 (J[y] = \int_{0}^{1} (y’^2 + x^2)dx)，边界条件 (y(0) = -1)，(y(1) = 1)，欧拉方程为 (y’’ = 0)，通解为 (y = c_1x + c_2)，根据边界条件得 (y = 2x - 1)。对于任意 (y’)，(F_{y’y’} = 2 > 0)，该泛函在极值曲线 (y = 2x - 1) 上取得强最小值。
  • 对于泛函 (J[y] = \int_{0}^{x_1} (1 - e^{-y’^4})dx)，边界条件 (y(0) = 0)，(y(x_1) = y_1)，(x_1 > 0)，(y_1 > 0)，解为 (y = \frac{y_1}{x_1}x)。勒让德条件 (F_{y’y’} = 4y’^2e^{-y’^4}(3 - 4y’^4))，其符号取决于 (3 - 4y’^4)。当 (\frac{y_1}{x_1} < \sqrt[4]{\frac{3}{4}}) 时，(F_{y’y’} > 0)，可取得弱最小值；当 (\frac{y_1}{x_1} = \sqrt[4]{\frac{3}{4}}) 时，(F_{y’y’} = 0)，不能取得弱极值；当 (\frac{y_1}{x_1} > \sqrt[4]{\frac{3}{4}}) 时，(F_{y’y’} < 0)，可取得弱最大值。

8. 多元泛函的极值问题

对于二次泛函 (J[u] = \iint_{D} (pu_x^2 + pu_y^2 - 2fu)dxdy)，满足固定边界条件 (u| {\Gamma} = g(x, y))，(g \in C(\Gamma))，其中 (x = e^T) 是 (D) 的封闭边界曲线，(D = D + \Gamma)；(p \in C^1(D))，(f \in C(D))，且 (p > 0)，(u \in C^2(D))。因为 (\delta J[u] = 0)，二阶变分 (\delta^2J = 2\iint {D} p[(\delta u_x)^2 + (\delta u_y)^2]dxdy \geq 0)，所以 (u = u(x, y)) 使 (J[u]) 取得绝对最小值。

综上所述，求解泛函极值问题需要综合运用欧拉方程、雅可比方程、魏尔斯特拉斯函数以及勒让德条件等工具，通过判断极值曲线是否在极值曲线场中、是否满足雅可比强条件等步骤，来确定泛函的极值性质，包括强极值、弱极值以及绝对极值等情况。不同形式的泛函具有不同的求解方法和极值特点，需要具体问题具体分析。