17、变分法中的可变边界问题

变分法中的可变边界问题

在变分法的研究中，函数极值问题是一个重要的领域。以往的研究大多假设积分限是固定的，即允许的函数都通过两个固定端点。然而，在许多实际问题中，函数的积分限可能是固定的，也可能是不确定的。

1. 基本概念

• 可变端点与可变边界 ：如果允许函数的一个或两个端点事先不通过给定的点，而是通过变分来确定，那么这个端点就被称为可变端点或移动端点。对于一元函数，端点和边界具有相同的含义，因此上述端点也可以称为可变边界或移动边界，有时也称为不确定边界或不确定端点。
• 可变边界变分问题 ：如果函数的积分限是可变的，或者积分区域给定但缺乏边界条件，那么这样的变分问题就称为可变边界变分问题或不确定边界变分问题。当函数的边界值没有明确给定时，这样的变分问题称为无约束变分问题。

2. 最简单泛函的变分问题

考虑泛函：
[J[y(x)] = \int_{x_0}^{x_1} F(x, y, y’)dx]
其中，允许曲线 (y = y(x)) 是 (C^2) 类函数，两个端点 (A(x_0, y_0)) 和 (B(x_1, y_1)) 分别在两个给定的 (C^2) 类函数 (y = \phi(x)) 和 (y = \psi(x)) 上移动。此时，泛函 (J[y(x)]) 被称为最简单的可变边界泛函或最简单的不确定边界泛函。

如果函数 (y = y(x)) 能使泛函 (J[y(x)]) 在可变边界的允许函数类中取得极值，那么它也能使泛函在固定边界的允许函数类中取得极值。因为可变边界泛函的允许曲线类范围更广，