变分法如何解决最优控制问题_最优控制的变分怎么求解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40241332/article/details/105712194

本文详细探讨了使用变分法解决最优控制问题的五个不同情况，包括具有等式约束的问题、末态时刻固定且无约束的情况、末态时刻和末态固定的问题、末态时刻固定但受约束的情况，以及末态时刻未定但末态受约束的问题。通过拉格朗日乘子和欧拉方程，阐述了解决这些问题的步骤和条件。

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本文是基于在此之前的一篇文章的后续。之前文章主要讲述最优控制问题的一个描述和变分法在泛函中的一些应用，在此不过多叙述。文章链接为：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40241332/article/details/95941248 和 https://blog.youkuaiyun.com/qq_40241332/article/details/106182432

主要分为以下几个部分：

具有等式约束下的条件问题
末态时刻固定，末态无约束的最优控制问题
末态时刻和末态固定的最优控制问题
末态时刻固定，末态受约束的最优控制问题
末态时刻未定的问题

1. 具有等式约束下的条件问题

问题描述如下所示：

寻找一条连续可微的极值曲线，使得性能泛函

$J=\int^{t_f}_{t_0}F(t,\mathbf x(t),\dot{\mathbf x}(t))dt$

达到极值，极值曲线 $\mathbf x(t)$ 满足微分方程的等式约束

$\Psi (t,\mathbf x(t),\dot{\mathbf x}(t))=0$

其中 $\Psi(t,\mathbf x(t),\dot{\mathbf x}(t))$ 是 $m$ 维 $(m\leq n)$ 关于 $t$ ， $\mathbf x$ 和 $\dot{\mathbf x}$ 的非线性向量函数。

定理 1.1 ：如果 $n$ 维向量函数 $x(t)$ 能使等式约束变分问题取极值，则必然存在 $m$ 维拉格朗日乘子向量函数 $\lambda(t)$ ，使得泛函

$J_1=\int^{t_f}_{t_0}H(t,\mathbf x(t),\dot{\mathbf x}(t),\lambda(t))dt$

达到无条件极值，即极值曲线 $x(t)$ 是欧拉方程 $\frac{\partial H}{\partial \mathbf x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial H}{\partial \dot{\mathbf x}}=0$ 和等式约束条件 $\Psi (t,\mathbf x(t),\dot{\mathbf x}(t))=0$ 的解，其中 $H(t,\mathbf x(t),\dot{\mathbf x}(t),\lambda(t))=F(t,\mathbf x(t),\dot{\mathbf x}(t))+\lambda^T(t)\Psi (t,\mathbf x(t),\dot{\mathbf x}(t))$ 。

理解：等式约束条件和欧拉方程，有 $m+n$ 个方程，正好解出 $n+m$ 个未知数 $\mathbf x(t)$ 和 $\lambda(t)$ 。

2. 末态时刻固定，末态无约束的最优控制问题

问题描述：求一容许控制 $u(t)\in U,t\in [t_0,t_f]$ ，在末态时刻 $t_f$ 固定，状态 $x(t_f)$ 无约束，初始状态 $x(t_0)=x_0$ 以及被控系统

$\dot{\mathbf x}(t)=\mathbf f(\mathbf x(t),\mathbf u(t),t)$ 等式约束条件下，使得性能泛函 $J[\mathbf u(\cdot )]=S(\mathbf x(t_f),t_f)+\int^{t_f}_{t_0}L(t,\mathbf x(t),\mathbf u(t))dt$ 的指标达到最小值。

Step 1：将动态系统状态方程改写成等式约束，引入拉格朗日乘子，结合原性能泛函，形成新的泛函。

$\mathbf f(\mathbf x(t),\mathbf u(t),t)-\dot{\mathbf x}(t)=0$

$J_1[\mathbf u(\cdot)]=S(\mathbf x(t_f),t_f)+\int^{t_f}_{t_0}\{L(\mathbf x(t),\mathbf u(t),t)+\lambda^T(t)[\mathbf f(\mathbf x(t),\mathbf u(t),t)-\dot{\mathbf x}(t)]\}$