Codeforces 338D GCD Table [中国剩余定理]

最新推荐文章于 2021-06-16 18:11:46 发布

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中国剩余定理

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本文介绍了一种基于数表的匹配算法，该算法通过计算最小公倍数和使用中国剩余定理（CRT）来判断给定的一行数是否存在于一个特殊的n*m数表中。数表的每个元素为行列坐标的最大公约数。文章提供了完整的实现代码，并指出对于CRT部分的理解留待后续深入研究。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:
给一个 $n*m$ 的数表,第 $i$ 行 $j$ 列的元素是 $gcd(i,j)$ 。再给出一行数，问这行数是否出现在数表中。

Solution:
根据结论，我们知道行数是 $lcm(a_1,...,a_k)$ ,然后我们列出方程，用 $crt$ 合并，这样可以解出列数。
代码抄了一份，并没有搞懂 $crt$ ，留坑。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, m, L = 1, x, lcm, ans;
int k;
ll a[100005];
ll mul(ll x, ll y, ll P) {
    ll ret = 0;
    for(y = (y % P + P) % P; y; y >>= 1, x = (x + x) % P) {
        if(y & 1) {
            ret = (ret + x) % P;
        }
    }
    return ret;
} 
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if(!b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll ret = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return ret;
}
int main() {
    scanf("%lld%lld%d", &n, &m, &k);
    for(int i = 1; i <= k; ++i) {
        scanf("%lld", &a[i]);
        lcm = lcm / __gcd(a[i], lcm) * a[i];
        ll x, y, d = exgcd(L, a[i], x, y);
        if((ans + (i - 1) % a[i]) % d != 0 || L / d * a[i] > n) {
            return puts("NO"), 0;
        }
        x *= (ans + (i - 1) % a[i]) / d;
        ans = ans - mul(L, x, L / d * a[i]);
        L = L / d * a[i];
        ans = (ans % L + L) % L;
    }
    if(ans == 0) {
        ans = L;
    }
    if(ans + k - 1 > m) {
        return puts("NO"), 0;
    } 
    for(int i = 1; i <= k; ++i) {
        if(a[i] != __gcd(L, ans + i - 1)) {
            return puts("NO"), 0;
        }
    }
    puts("YES");
    return 0;
}