bzoj2863 愤怒的元首 [dp+容斥原理]

最新推荐文章于 2020-01-18 10:57:19 发布

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分类专栏： OJ-bzoj dp 组合数学容斥原理

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本文介绍了一种计算由n个点构成的有向无环图(DAG)数量的方法。通过递推公式结合组合数学中的容斥原理，实现了有效的计数算法，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:
求 $n$ 个点构成 $dag$ 数量。

Solution:
考虑 $g[i]$ 表示当前 $i$ 个点构成 $dag$ 数量。由于 $dag$ 有出度为 $0$ 的点，删掉这些点仍然是一个dag。所以枚举出度为 $0$ 的点的数量，这样可以根据不同的特征计数。那么得出 $g[i]=\sum_{i=1}^{i}{g[i-j]*2^{j*(i-j)}*C(i,j)}$
但是这样会重复计数，因为出度为 $0$ 的点数可能比枚举的要更多，所以要乘上容斥系数，也就是当前计算的是至少有 $j$ 个出度为 $0$ 的 $dag$ 。
最终式子:
$g[i]=\sum_{j=1}^{i}{(-1)^{j}g[i-j]*2^{j*(i-j)}*C(i,j)}$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 3005, P = 1e9 + 7;
int n;
int c[maxn][maxn], bin[maxn * maxn], g[maxn];
int main() {
    scanf("%d", &n);
    c[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        c[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= i; ++j) {
            c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % P;
        }
    }
    for(int i = bin[0] = 1; i <= n * n; ++i) {
        bin[i] = (bin[i - 1] << 1) % P;
    }
    g[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        for(int j = 1; j <= i; ++j) {
            g[i] = (g[i] + 1LL * ((j & 1) ? 1 : -1) * c[i][j] * g[i - j] % P * bin[(i - j) * j] % P + P) % P;
        }
    }
    printf("%d\n", g[n]);
    return 0;
}