CodeForces-338D GCD Table

最新推荐文章于 2022-05-16 20:42:14 发布

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原文链接：http://www.cnblogs.com/dsjkafdsaf/p/11577373.html

本文探讨了一种基于最大公约数(GCD)的数列匹配算法，旨在解决在一个大规模矩阵中寻找特定数列的问题。通过引入中国剩余定理和最小公倍数概念，算法能够高效判断目标数列是否存在于矩阵中。

题目描述

一张$n\times m$ 的表，第$i $行第$j 列$是。

$GCD(i,j)$你有一个长度为$k$ 的数列$A$，询问是否存在$i,j$。

满足对任意的$l$，均有$GCD(i,j+l-1)=a_l(1\leq l\leq k)$。

Input

第一行有$3$个整数$n,m,k$。

第二行有$k$个整数表示数组$A$。

$ 1<=n,m<=10^{12}1<=k<=10000 $

$ 1<=a_{i}<=10^{12}$

Output

若存在输出$YES$，否则输出$NO$。

Sample Input

100 100 5
5 2 1 2 1

100 8 5
5 2 1 2 1

100 100 7
1 2 3 4 5 6 7

Sample Output

YES

NO

NO

题目中要求我们在表中找到数列$A$。

即：
\[ \begin{cases} GCD(i,j)=A_1 \\ GCD(i,j+1)=A_2 \\ ...... \\ GCD(i,j+k-1)=A_k\\ \end{cases} \]

由于$GCD$内外可以同时除掉一个数，所以我们同时除掉$A_i$。

有：
\[ \begin{cases} GCD(i/A_1,j/A_1)=1 \\ GCD(i/A_2,(j+1)/A_2)=1 \\ ...... \\ GCD(i/A_k,(j+k-1)/A_k)=1\\ \end{cases} \]

题目开始变得明朗了起来。

首先，我们发现$i$必定能整除所有的$A_i$，即$i$一定是$LCM(A)$的倍数。

同时，我们又发现$j/A_1$为整数，$(j+1)/A_2$为整数，即：
\[ \begin{cases} j=0\%A_1 \\ j+1=0\%A_2 \\ ...... \\ j+k-1=0\%A_k\\ \end{cases} \]

我们可以利用中国剩余定理解出$j$的解集。

我们发现$j$的解集一定是$Ans+k*LCM(A)$。

让我们再回到之前的解题中去。

$i=t*LCM(A),j=Ans+k*LCM(A)$。

让我们证明$i$取$LCM(A)$时最优：

$j$的解集和$i$并没有关系.

在上面的条件中，我们要求$GCD(t*(LCM(A)/A_i),(j+i-1)/A_i)=1$.

我们发现若$t$不等于$1$时，在$GCD$中必定会多带入一个因子，这样的话会使$GCD$为$1$变的比较麻烦。

所以，我们取$i=LCM(A)$一定是最优的。

即然$i$已经取了$LCM(A)$,那$j$自然是取$Ans$了，否则的话由会多了$LCM(A)$的项。

最后带入检验即可。

一个坑点：两个数相乘会炸long long，要用快速乘。

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
#define int long long
#define reg register
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define Mod(x) (x>=mod)&&(x-=mod)
#define abs(a) ((a)<0?-(a):(a))
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl;
#define debug2(x,y) cerr<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<endl;
#define debug3(x,y,z) cerr<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<" "<<#z<<"="<<z<<endl;
#define rep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<=a##_end_; ++a)
#define ret(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<a##_end_; ++a)
#define drep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a>=a##_end_; --a)
#define erep(i,G,x) for(int i=(G).Head[x]; i; i=(G).Nxt[i])
#pragma GCC optimize(2)
 
inline int Read(void) {
    int res=0,f=1;
    char c;
    while(c=getchar(),c<48||c>57)if(c=='-')f=0;
    do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);
    while(c=getchar(),c>=48&&c<=57);
    return f?res:-res;
}
 
template<class T>inline bool Min(T &a, T const&b) {
    return a>b?a=b,1:0;
}
template<class T>inline bool Max(T &a, T const&b) {
    return a<b?a=b,1:0;
}
const int N=1e4+5,M=305,mod1=97,mod2=3761599;
 
bool MOP1;
 
int n,k,m,mod[N],res[N];
 
bool MOP2;
 
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if(!b) {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int g=Exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return g;
}
 
inline int Mul(int x,int y,int mod) {
    int res=0,f=0;
    if(y<0)f=1,y=-y;
    while(y) {
        if(y&1)res=(res+x)%mod;
        x=x+x%mod,y>>=1;
    }
    return f?-res:res;
}
 
inline int Excrt(void) {
    int M=mod[1],ans=res[1],x,y;
    rep(i,2,k) {
        int g=Exgcd(M,mod[i],x,y);
        if((res[i]-ans)%g)return -1;
        y=mod[i]/g;
        x=Mul(x,(res[i]-ans)/g,y);
        x=(x+y)%y;
        ans=M*x+ans,M=M/g*mod[i],ans%=M;
    }
    int z=(ans%M+M)%M;
    if(!z)z=M;
    return z;
}
 
int vis[1000005];
 
inline void _main(void) {
    n=Read(),m=Read(),k=Read();
    rep(i,1,k)mod[i]=Read(),res[i]=((1-i)%mod[i]+mod[i])%mod[i];
    int LCM=1;
    rep(i,1,k) {
        LCM=LCM/__gcd(LCM,mod[i])*mod[i];
        if(LCM<0||LCM>n)return(void)puts("NO");
    }
    int Now=Excrt();
    if(Now==-1)return(void)puts("NO");
    if(Now+k-1>m)return(void)puts("NO");
    rep(i,1,k)if(__gcd(Now+i-1,LCM)!=mod[i])return(void)puts("NO");
    return(void)puts("YES");
}
 
signed main() {
    _main();
    return 0;
}

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