bzoj4987 Tree [树形背包]

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dp-树形

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本文介绍了一种使用树形动态规划解决寻找树上K个点构成的连通块中最小路径总和的问题。通过定义状态dp[i][j][0/1/2]来表示根节点i的子树中选择j个点且端点处于不同位置时的最小代价，利用递归遍历实现了高效的状态转移。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:
从前有棵树。
找出 $K$ 个点 $A_1，A_2，…，A_k$ 。
使得 $∑dis(A_i,A_{i+1}),(1<=i<=K-1)$ 最小

Solution:
有一个结论是这些点必然是一个连通块。
这样我们可以 $dp$ 。设 $dp[i][j][0/1/2]$ 表示根为 $i$ 的子树，选了 $j$ 个点，两个端点都在 $i/$ 一个在另一个在连通块叶子结点/两个都在叶子结点。
然后转移即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3005;
struct edge {
    int nxt, to, w;
} e[N << 1];
int n, cnt = 1, k;
int h[N], dp[N][N][3], sz[N];
void link(int u, int v, int w) {
    e[++cnt].nxt = h[u];
    h[u] = cnt;
    e[cnt].to = v;
    e[cnt].w = w;
} 
void dfs(int u, int last) {
    sz[u] = 1;
    dp[u][0][0] = 0;    
    dp[u][0][1] = 0;
    for(int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {
        int v = e[i].to;
        if(v != last) {
            dfs(v, u);
            for(int j = sz[u] - 1; ~j; --j) {
                for(int k = sz[v] - 1; ~k; --k) {
            //      dp[u][j + k + 1][0] = min(dp[u][j + k + 1][0], dp[u][j][0] + dp[v][k][0] + 2 * e[i].w);
            //      dp[u][j + k + 1][1] = min(dp[u][j + k + 1][1], dp[u][j][0] + dp[v][k][1] + e[i].w);
            //      dp[u][j + k + 1][1] = min(dp[u][j + k + 1][1], dp[u][j][1] + dp[v][k][0] + 2 * e[i].w);
            //      dp[u][j + k + 1][2] = min(dp[u][j + k + 1][2], dp[u][j][1] + dp[v][k][1] + e[i].w);
            //      dp[u][j + k + 1][2] = min(dp[u][j + k + 1][2], dp[u][j][0] + dp[v][j][2] + 2 * e[i].w);
            //      dp[u][j + k + 1][2] = min(dp[j][j + k + 1][2], dp[u][j][2] + dp[v][j][0] + 2 * e[i].w);
                    for(int l = 2; ~l; --l) {
                        for(int m = l; ~m; --m) {
                            dp[u][j + k + 1][l] = min(dp[u][j + k + 1][l], dp[u][j][l - m] + dp[v][k][m] + (2 - (m & 1)) * e[i].w); 
                        }
                    }
                }
            }
            sz[u] += sz[v];
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        link(u, v, w);
        link(v, u, w);
    }
    memset(dp, 0x3f3f, sizeof(dp));
    dfs(1, 0);
    int ans = 1e9;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        ans = min(ans, min(dp[i][k - 1][1], dp[i][k - 1][2]));
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}