37、时变密度下机器人集群覆盖问题的算法研究

时变密度下机器人集群覆盖问题的算法研究

1. 覆盖问题概述

在机器人集群的应用场景中，我们期望通过人类操作员提供的密度函数来影响机器人的分布，从而实现对特定区域的有效覆盖。这里，我们将研究区域 $D \subset R^2$ 视为机器人的工作空间，用户提供的密度函数 $\varphi : D \times [0, \infty) \to (0, \infty)$ 描述了区域内各点在不同时刻的相对重要性。

为了衡量机器人对区域的覆盖效果，我们引入了定位成本的概念。一般情况下，定位成本可以表示为：
[H(p, P, t) = \sum_{i=1}^{n} \int_{P_i} f(|q - p_i|) \varphi(q, t) dq]
考虑到大多数传感器性能随距离的平方衰减，我们采用以下定位成本公式：
[H(p, P, t) = \sum_{i=1}^{n} \int_{P_i} |q - p_i|^2 \varphi(q, t) dq]
当机器人的配置 $p$ 和区域划分 $P$ 使得上述成本函数最小化时，我们称该区域相对于密度函数 $\varphi$ 实现了最优覆盖。

通过引入 Voronoi 划分，我们可以将区域划分 $P$ 固定为 $V_i(p) = {q \in D | |q - p_i| \leq |q - p_j|, i \neq j}$，从而将定位成本简化为：
[H(p, t) = \sum_{i=1}^{n} \int_{V_i(p)} |q - p_i|^2 \varphi(q, t) dq]

2. 相关参数定义

为了进一步分析问题，我们定义了以下参数：
-