96、数据挖掘中的MDL与MML原则：理论、应用与未来展望

数据挖掘中的MDL与MML原则：理论、应用与未来展望

在数据挖掘和机器学习领域，模型选择和评估是至关重要的环节。最小描述长度（MDL）原则和最小消息长度（MML）原则为我们提供了有效的方法来进行模型选择和统计推断。本文将深入探讨这两个原则的理论、应用以及未来发展方向。

1. MDL原则概述

MDL原则主张在考虑模型自身复杂度的情况下，优先选择能对数据进行最短描述的模型。它为统计建模提供了一种通用的方法，适用于模型选择和正则化。现代的MDL版本能够根据数据选择合适的模型复杂度，从而在不发生过拟合的情况下从数据中提取最大信息。

1.1 MDL哲学

MDL原则是奥卡姆剃刀的正式版本。奥卡姆剃刀建议在与证据兼容的假设中选择最简单的一个，而MDL原则不仅如此，还量化了假设与证据的兼容性，这就导致了假设复杂度和与证据拟合度之间的权衡。MDL强调模型优劣的评估不应基于与“真实”模型的接近程度（因为“真实”模型往往无法验证），而应基于数据本身。受所罗门诺夫通用归纳理论的启发，Rissanen认为统计模型性能的衡量标准是其赋予数据的概率，而概率与代码长度密切相关，因此代码长度可以作为衡量性能的等效方式。

1.2 MDL理论

MDL理论主要解决两个问题：
- 通用数据压缩 ：在已知模型类的情况下，寻找可实现的最短描述，即通用数据压缩。当数据源分布已知时，最短预期代码长度由源的熵决定；当数据源分布未知时，通用数据压缩研究类似的下界。Rissanen提出了基于两部分代码的通用代码构造方法，通过权衡模型复杂度和数据拟合度来实现。对于参数模型，需要对参数进行量化，以确保代码长度有限。后续还提出了比两部分代码更优的通用代码，如贝叶斯型混合代码、预测型MDL和归一化最大似然（NML）代码等。
- MDL学习方法的行为 ：MDL认为数据压缩是发现数据规律的成功度量，更好的压缩意味着更好的建模。Barron和Cover提出的可分辨性指数用于衡量在两部分编码设置中估计概率源的难度，他们的结果限制了真实源分布与最小化两部分代码长度的分布之间的Hellinger距离。对于模型选择问题，许多基于MDL的模型选择标准被证明是一致的。

1.3 MDL应用

MDL在广泛的应用中表现出色，尤其适用于需要根据统计数据估计连续参数、参数数量和模型结构的模型选择问题。一些示例应用包括：
- 自回归模型和马尔可夫链 ：早期的MDL文献对这些模型类进行了研究。
- 线性回归 ：选择相关协变量子集是涉及可变复杂度模型的经典示例。
- 连续协变量离散化 ：通过应用MDL可以确定离散化的粒度。
- 概率图模型结构学习 ：MDL可用于学习概率图模型的结构。

以下是MDL在不同应用中的简单总结表格：
|应用领域|具体应用|
| ---- | ---- |
|时间序列模型|自回归模型、马尔可夫链等|
|回归分析|线性回归中的协变量选择|
|数据预处理|连续协变量离散化|
|图模型|概率图模型结构学习|

2. MML原则概述

MML原则是一种信息论方法，用于归纳、假设检验、模型选择和统计推断。它为奥卡姆剃刀的实现提供了正式规范，认为对观测数据的“最佳”解释是最短的。

2.1 MML定义

最小消息长度是一种归纳推理理论，优选的模型是在给定先验信息下，解释数据所需预期消息长度最小的模型。数据的解释是一个两部分的消息，第一部分（断言）陈述关于数据来源的假设、模型或理论，第二部分（细节）陈述不能从断言和先验知识中推导出来的方面。通过计算每个模型的解释长度，选择解释长度最短的模型。

2.2 MML动机和背景

MML归纳推理的原始动机是认为对事实的最佳解释是最短的。与机器学习中侧重于预测和决策的模型不同，MML的目标是选择最佳的真实模型。对于离散模型，MML类似于贝叶斯模型选择，但对于具有实值参数的模型，两者的等价性会失效。MML通过将连续的假设空间离散化，为每个离散理论分配非零先验概率。除了离散化的假设空间，MML与贝叶斯学习有许多共同属性，如充分性、避免过拟合和一致性等。此外，MML允许归纳推理在参数空间的任意单调变换下保持不变，而贝叶斯学习的一些选项则不具备这一特性。

2.3 MML理论

严格的MML（SMML）估计器是精确最小化预期消息长度的估计器函数。一个SMML估计器需要数据空间、条件概率函数、模型空间和先验概率密度等信息。通过选择合适的编码分布，可以最小化预期消息长度。

以二项分布为例，展示了SMML估计器的应用。在100次独立试验中，SMML估计器与最大后验（MAP）估计器有明显差异，SMML估计更离散，其间距与预期误差一致，而MAP估计可能过于精确和平滑。

以下是二项分布中SMML估计器与MAP估计器的对比表格：
|成功次数(s)|SMML估计(pj)|MAP估计(s/100)|
| ---- | ---- | ---- |
|0|0|0|
|1 - 6|0.035|0.01 - 0.06|
|7 - 17|0.12|0.07 - 0.17|
|18 - 32|0.25|0.18 - 0.32|
|33 - 49|0.41|0.33 - 0.49|
|50 - 66|0.58|0.5|
|67 - 81|0.74|0.67 - 0.81|
|82 - 93|0.875|0.82 - 0.93|
|94 - 99|0.965|0.94 - 0.99|
|100|1|1|

2.4 MML近似

由于SMML估计器在实践中难以找到，因此提出了各种近似方法。这里主要关注二次近似，通常称为MML估计器或MML87。使用近似方法时，需要仔细检查近似所做的假设，以确保MML归纳推理的理想理论性质仍然适用。

3. MML应用

MML估计器已被应用于各种概率分布和机器学习模型空间，以下是一些具体应用：

3.1 基于模型的聚类或混合模型

聚类是MML的首个应用。早期的编码方案发生了一些变化，关键的发展是从确定的类别分配转变为概率分配。MML模型选择和涉及动态分裂和合并聚类的高效搜索在FORTRAN程序Snob中实现。
- 断言代码 ：包括类的数量、每个类的总体比例和统计分布参数。
- 细节代码 ：对于每个数据点，包括其所属的类和假设该类分布参数下的属性值。使用bits - back编码来部分或概率地分配类，以获得一致的估计。

3.2 概率有限状态机

概率有限状态机可以表示概率正则文法。其断言代码包括状态数量、每个状态的弧数量、弧的符号和目标状态等信息。在设计断言代码时，需要考虑一些通用问题，如是否包含某些信息、先验的合理性、代码冗余和模型空间搜索等。

以下是概率有限状态机断言代码的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[声明状态数量S];
    B --> C[为每个状态编码弧数量];
    C --> D[编码弧的符号];
    D --> E[为每个弧编码目标状态];
    E --> F[调整代码冗余];
    F --> G[结束];

3.3 决策树

决策树的断言代码描述树的结构，细节代码描述目标标签。通过前缀遍历树来构造断言代码，描述节点时需要根据节点类型（叶节点或分裂节点）指定不同的信息。

3.4 因果网络

因果网络的断言代码分为两部分：有向无环图（DAG）和参数。DAG部分指定变量的顺序和可能存在的弧，参数部分为每个变量指定条件分布的形式和参数。在处理因果网络时，需要进行一些调整以处理具有各种等价性或近似等价性的因果网络组。

4. 未来方向

4.1 MDL未来方向

• 关注现代公式：未来的工作应聚焦于涉及更高级代码（如NML及其变体）的现代公式，而不是仅依赖原始的 $\frac{k}{2} \log n$ 公式。
• 理论理解：需要类似可分辨性指数的工具来更好地理解现代MDL方法的性质。
• 大数据应用：对于现代大数据应用，需要具有亚线性计算和存储要求的近似MDL版本，预测型MDL在处理高吞吐量流数据场景中是一个有前景的方法。

4.2 MML未来方向

• 可行近似开发：有潜力进一步开发能保持关键SMML属性的可行近似方法。
• 编码理论交叉：编码理论的新发展（如随机编码）可能有助于MML估计器的开发。
• 新模型空间应用：随着机器学习中出现新的模型空间，MML估计器将继续得到发展。

MDL和MML原则在数据挖掘和机器学习中具有重要的理论和应用价值。它们为模型选择和统计推断提供了有效的方法，并且在未来有望在更多领域得到应用和发展。通过不断探索和改进，这两个原则将为解决复杂的数据问题提供更强大的工具。

数据挖掘中的MDL与MML原则：理论、应用与未来展望

5. MDL与MML的对比分析

虽然MDL和MML原则都与模型选择和统计推断相关，但它们在很多方面存在差异。

5.1 哲学基础

• MDL ：是奥卡姆剃刀的正式版本，强调模型评估基于数据，通过量化假设与证据的兼容性，在假设复杂度和拟合度之间进行权衡。它不依赖于“真实”模型的存在，更注重从数据中提取规律。
• MML ：同样基于奥卡姆剃刀，认为对观测数据的“最佳”解释是最短的。但它更侧重于通过信息论的方法，将模型和数据编码为消息，以消息长度来衡量模型的优劣。

5.2 理论实现

• MDL ：在通用数据压缩方面，提出了基于两部分代码的通用代码构造方法，后续还发展了多种更优的通用代码。对于模型选择，许多基于MDL的标准被证明是一致的。
• MML ：严格的MML（SMML）估计器精确最小化预期消息长度，但在实践中难以找到，因此有各种近似方法。它将连续的假设空间离散化，在离散化的基础上进行模型选择。

5.3 应用场景

• MDL ：适用于需要估计连续参数、参数数量和模型结构的模型选择问题，如自回归模型、线性回归、连续协变量离散化和概率图模型结构学习等。
• MML ：在聚类、概率有限状态机、决策树和因果网络等机器学习模型空间中有广泛应用，尤其适用于复杂模型，更关注找到最佳的真实模型。

以下是MDL与MML对比的总结表格：
|对比项|MDL|MML|
| ---- | ---- | ---- |
|哲学基础|基于数据，权衡复杂度与拟合度|基于信息论，最短消息为最佳解释|
|理论实现|两部分代码，多种通用代码|SMML估计器及近似方法，假设空间离散化|
|应用场景|参数估计和模型结构学习|机器学习模型空间，复杂模型选择|

6. 实际应用案例分析

为了更好地理解MDL和MML原则在实际中的应用，以下给出具体案例。

6.1 MDL在线性回归中的应用

在一个线性回归问题中，有多个协变量可供选择。使用MDL原则可以帮助选择最相关的协变量子集。具体步骤如下：
1. 定义模型类 ：确定所有可能的协变量组合所构成的模型类。
2. 计算代码长度 ：对于每个模型，计算其两部分代码长度，即模型复杂度（通过参数量化）和数据拟合度（通过对数似然）。
3. 选择最优模型 ：选择代码长度最短的模型作为最优模型。

通过这种方式，可以避免选择过于复杂的模型，从而减少过拟合的风险。

6.2 MML在聚类中的应用

在基于模型的聚类问题中，使用MML原则可以确定最佳的聚类数量和每个聚类的参数。以Snob程序为例，具体步骤如下：
1. 初始化 ：设定初始的聚类数量和编码方案。
2. 动态搜索 ：通过动态分裂和合并聚类，不断调整聚类结构。
3. 计算消息长度 ：对于每个可能的聚类结构，计算其断言代码和细节代码的总消息长度。
4. 选择最优聚类 ：选择消息长度最短的聚类结构作为最优聚类。

这种方法可以自适应地确定聚类数量，并且通过概率分配提高聚类的准确性。

7. 技术挑战与解决方案

在实际应用MDL和MML原则时，会面临一些技术挑战，以下是相关分析和解决方案。

7.1 MDL技术挑战与解决方案

• 计算复杂度 ：在通用数据压缩和模型选择过程中，计算代码长度和寻找最优模型可能具有较高的计算复杂度。解决方案是采用近似方法，如预测型MDL，它在处理高吞吐量流数据时具有较低的计算和存储要求。
• 参数量化 ：对于参数模型，参数量化可能会引入误差。可以通过研究更精确的量化方法，如基于Fisher信息的量化，来减少误差。

7.2 MML技术挑战与解决方案

• SMML估计器难以找到 ：由于SMML估计器需要精确最小化预期消息长度，在实践中很难实现。可以使用近似方法，如MML87，但需要仔细检查近似假设。
• 模型空间搜索 ：在复杂的模型空间中，如因果网络，搜索最优模型可能非常困难。可以采用启发式搜索方法，结合对模型等价性的处理，来提高搜索效率。

以下是技术挑战与解决方案的总结表格：
|原则|技术挑战|解决方案|
| ---- | ---- | ---- |
|MDL|计算复杂度高|采用近似方法，如预测型MDL|
|MDL|参数量化误差|研究更精确的量化方法，如基于Fisher信息的量化|
|MML|SMML估计器难以找到|使用近似方法，如MML87，并检查假设|
|MML|模型空间搜索困难|采用启发式搜索方法，处理模型等价性|

8. 总结与展望

MDL和MML原则在数据挖掘和机器学习领域具有重要的理论和应用价值。它们通过不同的方式为模型选择和统计推断提供了有效的方法，能够帮助我们从数据中提取有价值的信息，避免过拟合，找到最佳的模型结构。

在未来，随着数据量的不断增加和模型复杂度的提高，MDL和MML原则将面临更多的挑战和机遇。我们需要进一步研究和发展更高效的近似方法、更精确的量化技术和更智能的搜索算法，以适应现代大数据和复杂模型的需求。同时，编码理论的新发展也将为这两个原则的应用带来新的思路和方法。相信在不断的探索和改进中，MDL和MML原则将在更多领域发挥重要作用，为解决实际问题提供更强大的工具。

总之，MDL和MML原则是数据挖掘和机器学习中不可或缺的重要工具，它们的发展和应用将推动整个领域的进步。无论是学术研究还是实际应用，都值得我们深入关注和探索。