10、三维有限元方法的理论基础与应用

三维有限元方法的理论基础与应用

1 三维有限元方法概述

在现代工程和科学研究中，三维有限元方法（3D FEM）已经成为分析复杂结构和材料行为的重要工具。尤其在处理弹塑性材料时，三维有限元方法能够精确模拟材料在多轴应力状态下的行为，为设计和优化提供了有力支持。本文将详细介绍三维有限元方法的理论基础及其在FORTRAN中的实现，帮助读者掌握这一强大工具的核心概念和技术细节。

2 三维应力张量

在三维空间中，应力状态可以通过一个张量来描述。假设坐标轴为1, 2, 3（或x, y, z），任意应力σ可以分解为应力分量σij。这些分量可以排列在柯西应力张量中：

[
\sigma_{ij} =
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}
]

应力作用在一个具有法向坐标向量ei（i=1, 2, 3）的平面上，方向为ej（j=1, 2, 3）。由于材料被假设为各向同性，张量σij是对称的，因此在有限元方法中，它通常被存储为一个包含六个独立应力分量的列矩阵（或向量）：

[
\sigma =
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \
\sigma_{22} \
\sigma_{33} \