蓝桥杯算法训练 K好数（数位dp）

最新推荐文章于 2025-05-26 20:02:56 发布

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本文探讨了如何计算K好数的数量，并详细解释了状态转移方程的运用，通过实例演示了求解过程，对于理解K好数的概念及计算方法具有较高的实用价值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

K好数

问题描述

如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字，那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4，L = 2的时候，所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大，请你输出它对1000000007取模后的值。

输入格式

输入包含两个正整数，K和L。

输出格式

输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的值。

样例输入

4 2

样例输出

7

数据规模与约定

对于30%的数据，KL <= 106；

对于50%的数据，K <= 16， L <= 10；

对于100%的数据，1 <= K,L <= 100。

解题思路：

状态转移方程：dp[i][j] = ∑dp[i-1][x] （x != j±1 ，0<=x < k, i > 1）初始化f[1][j] = 1 (0<= j < k)。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MOD = 1000000007;
ll dp[105][105];

int main(){
    int k,l;
    while(~scanf("%d%d",&k,&l)){
        for(int i = 0; i < k; ++i)
            dp[1][i] = 1;
        for(int i = 2; i <= l; ++i)
            for(int j = 0; j < k; ++j)
                for(int x = 0; x < k; ++x)
                    if(x != j-1 && x != j+1){//根据题意，本位的数字与前面后面相邻的数字是不能相等
                        dp[i][j] += dp[i-1][x];
                        dp[i][j] %= MOD;
                    }
        ll sum = 0;
        for(int i = 1; i < k; i++){
            sum += dp[l][i];
            sum %= MOD;
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}