KMP算法详解

概念

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法,由D.E.Knuth,J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现,因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作(简称KMP算法)。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息,尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个next()函数,函数本身包含了模式串的局部匹配信息。

原理

接下来我们先分析三张图,S代表主串,T代表模式串。
当主串S[i]与子串T[j]失配时,i不回溯,仅j回溯到一个尽量“偏右”的位置k。因此 KPM算法的核心问题是寻找确定 k = n e x t [ j ] k=next[j] k=next[j]的方法。
(I)
(II)
(III)
由 (I) ,(II),和 (III) 我们得到:
T[0 … k-1] = T[j-k … j-1] = T[0 … next[j]-1]
因此得到k = next[j]的定义(注意下标范围)

以上定义也说明next[j]与主串S无关。
next[j]函数举例

代码

kmp算法:

void kmp(int *S, int *T) {
    int i = 0, j = 0;
    getnext(T, next);
    while (i < n) {
        if (j == -1 || S[i] == T[j]) {
            i++;
            j++;
        } else
            j = next[j];
        if (j == m) {
            printf("%d\n", i - m + 1);
            return;
        }
    }
    printf("-1\n");
}

根据定义 next[0] = -1;
设 next[j] = k,求 next[j+1]
若 T[j] = T[k],则 next[j+1] = k + 1 = next[j] + 1;
若 T[j] = T[next[k]], 则 next[j+1] = next[k] + 1;
next[j]函数:

void getnext(int *T, int *next) {
    int j = 0, k = -1;
    next[0] = -1;
    while (j < m) {
        if (k == -1 || T[j] == T[k]) {
            j++;
            k++;
            next[j] = k;
        } else
            k = next[k];
    }
}

分析

运用KMP算法的匹配过程

  • 第1趟
    目标 a c a b a a b aa b c a c a a b c
    模式  a b a a b c a c
    j = 1 -> j = f(j-1) + 1 = 0
  • 第2趟 
    目标 a c a b a a b aa b c a c a a b c
    模式 a b a a b c a c
    j = 5->j =f(j-1)+1= 2
  • 第3趟
    目标 a c a b a a b a a b c a c a a b c
    模式    (a b)a a b c a c
    计算失效函数f[j]的方法
    首先确定f[0] = -1,再利用f[j]求f[j+1]。
    KaTeX parse error: Expected group after '\right' at end of input: …nd{array}\right
    其中, f(1)[j] = f[j],
         f(m)[j] = f[f(m-1)[j]]

    kmp算法的复杂度是O(n+m),可以采用均摊分析来解答,具体可参考算法导论。
    注意事项:
    next数组定义为全局变量时,最好不要命名为next,会与库函数重名,提交时会出现编译错误。。。

练习

HDU 1711 Number Sequence
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1711
解题思路:http://blog.youkuaiyun.com/piaocoder/article/details/41928323
POJ 2406 Power Strings
题目链接:http://poj.org/problem?id=2406
解题思路:http://blog.youkuaiyun.com/piaocoder/article/details/47733683
POJ 2752 Seek the Name, Seek the Fame
题目链接:http://poj.org/problem?id=2752
解题思路:http://blog.youkuaiyun.com/piaocoder/article/details/47733303
POJ 3461 Oulipo
题目链接:http://poj.org/problem?id=3461
解题思路:http://blog.youkuaiyun.com/piaocoder/article/details/47732321

<think>好的,用户想要了解KMP算法的详细解释和使用方法,包括实现步骤和示例代码。我需要根据提供的引用资料来整理回答。首先,KMP算法的核心思想是通过预处理模式串生成next数组,避免回溯主串指针,提高匹配效率。接下来,我需要分步骤解释算法流程,比如如何构建next数组,如何进行匹配过程。然后,给出一个具体的示例代码,可能用Python来实现,因为用户之前的示例也是Python。还要注意用户提到的系统级指令,比如数学公式的格式,独立公式用$$...$$,行内用$...$。同时,回答中需要自然地添加引用标识,比如在提到优化效率时引用[^2]。最后,生成相关问题,比如next数组的构建方法、时间复杂度分析等。需要确保LaTeX语法正确,比如模式串的前缀函数可能用数学表达式表示。检查是否有遗漏的步骤,比如部分匹配表的生成过程,确保逻辑清晰,结构合理。</think>### KMP算法详解及实现 #### 一、核心思想 KMP算法通过**前缀函数**预处理模式串生成$next$数组,使得匹配失败时能跳过无效比较。其核心是保持主串指针$i$不回溯,仅调整模式串指针$j$,将时间复杂度从暴力算法的$O(n \times m)$优化到$O(n + m)$[^3]。 #### 二、实现步骤 1. **构建next数组** - 定义:$next[j]$表示模式串$P[0..j]$中最长相等前后缀长度 - 递推公式: $$ next[j] = \begin{cases} -1 & j=0 \\ max\{k \mid 0 \leq k<j \text{ 且 } P[0..k] = P[j-k..j]\} & \text{其他情况} \end{cases} $$ - 示例:模式串"ABABC"的$next$数组为$[-1,0,0,1,2]$ 2. **匹配过程** - 初始化$i=0$, $j=0$ - 当$i < \text{主串长度}$且$j < \text{模式串长度}$: - 若$j=-1$或主串$T[i] = P[j]$,则$i++, j++$ - 否则$j = next[j]$ - 当$j \geq \text{模式串长度}$时匹配成功 #### 三、Python实现示例 ```python def kmp(text, pattern): n, m = len(text), len(pattern) next_arr = get_next(pattern) i = j = 0 while i < n and j < m: if j == -1 or text[i] == pattern[j]: i += 1 j += 1 else: j = next_arr[j] return i - j if j == m else -1 def get_next(pattern): m = len(pattern) next_arr = [-1] * m k = -1 for j in range(1, m): while k >= 0 and pattern[j] != pattern[k+1]: k = next_arr[k] if pattern[j] == pattern[k+1]: k += 1 next_arr[j] = k return next_arr ``` #### 四、示例说明 主串$T= "ABABABABC"$,模式串$P= "ABABC"$时: 1. 生成$next=[-1,0,0,1,2]$ 2. 匹配失败时通过$next$数组跳过冗余比较 3. 最终在第4次调整后匹配成功[^1]
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