线性空间是一个集合，包含加法和数量乘法操作，满足封闭性、加法规则、数量乘法规则和分配律。零元素和负元素在空间中是唯一的，并存在线性子空间的概念。定理表明，若子集对加法和乘法封闭，则它是线性子空间。
线性空间定义
设 VV 是一个非空集合，
是一个数域，在集合 VV 上定义了加法
和数量乘法 kαkα 。
若加法和数量乘法满足下列规则，则称 VV 为数域
上的线性空间。
封闭性
- α+β∈V,∀α,β∈Vα+β∈V,∀α,β∈V
- kα∈V,∀k∈P,α∈Vkα∈V,∀k∈P,α∈V
加法规则
- α+β=β+α,∀α,β∈Vα+β=β+α,∀α,β∈V
- (α+β)+γ=β+(α+γ),∀α,β,γ∈V(α+β)+γ=β+(α+γ),∀α,β,γ∈V
- 对于任意一个 α∈V,α∈V, 存在 0⃗ ∈V,0→∈V, 使得 α+0⃗ =αα+0→=α 。
- 对于任意一个 α∈V,α∈V, 存在 β
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