定积分的概念和可积条件（1）

区间的划分：

在区间 $[a, b]$ 上任取 $n + 1$ $( n \in \mathbb N, n \ge 1 )$ 个分点 $\{x_i : i \in \mathbb N, 0 \le i \le n \}$ ，
使得 $a = x_0 \lt \cdots \lt x_n = b$ ，则这 $n + 1$ $( n \in \mathbb N )$ 个分点是区间 $[a, b]$ 的一种划分，
记为 $P = \{x_i : i \in \mathbb N, 0 \le i \le n \}$ 。

定积分的定义

设 $f(x) : [a, b] \rightarrow \mathbb R$ ,若对于 $[a, b]$ 的任意一种有 $n + 1$ $( n \in \mathbb N, n \ge 1 )$个分点的划分 $P$ , 任取 $n$ 个点
$\{ \varepsilon_i: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n, \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i] \}$ ，
$\forall i \in \mathbb N, 1 \le i \le n,$ 记：
$\Delta x_i = x_i - x_{i - 1},$
$\lambda = \max \{\Delta x_i: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n\}$ ，
若极限
$\lim \limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i$
存在，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积。和式
$S_n = \sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i$
称为黎曼和。其极限值 $I$ 称为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分，记为：
$I = \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x,$
$a$ 和 $b$ 分别称为积分的下限和上限。
使用 $\varepsilon - \delta$ 语言就是：
若 $\exists I \in \mathbb R$ ，使得 $\forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta > 0$， 使得对于任意一种 $[a, b]$ 上的划分 $P$ 和任意 $n$ 个点 $\{ \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i]: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \}$ ，只要 $\lambda = \max \{\Delta x_i: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n\} \lt \delta,$ 便有 $|\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i - I| \lt \varepsilon$， 则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，称 $I$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的定积分。

补充定义

在上面的定义中，要求 $a \lt b,$ 当 $a \ge b$ 时，我们规定
$\int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x = - \int _{b} ^{a} f(x) \mathrm {d} x$
并由此得到
$\int _{a} ^{a} f(x) \mathrm {d} x = 0$

可积唯一性

若 $\exists I_1, I_2 \in R,$ 使得
$I_1 = \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x, I_2 = \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x,$
则 $1 = I_2$
证明：
$I_1 = \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x$
$\Rightarrow \forall \varepsilon \gt 0, \exists \delta_1 > 0$， 使得对于任意一种 $[a, b]$ 上的划分 $P$
和任意 $n$ 个点 $\{ \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i]: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \}$ ，
只要 $\lambda = \max \{\Delta x_i: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n\} \lt \delta_1,$ 便有 $|\sum _{i = 1} ^{n} f(\varepsilon_i)\Delta x_i - I_1| \lt \dfrac {\varepsilon} {2}$，

$I_2 = \int _{a} ^{b} f(x) \mathrm {d} x$
$\Rightarrow$ 对于上面的 $\varepsilon, \exists \delta_2 > 0$， 使得对于任意一种 $[a, b]$ 上的划分 $P$
和任意 $n$ 个点 $\{ \varepsilon_i \in [x_{i - 1}, x_i]: i \in \mathbb N, 1 \le i \le n \}$ ，
只要 λ=max{ Δxi:i∈N,1≤i