Schwarz不等式 三角不等式

内积

定义

$\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb R^n, \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \sum_{i = 1}^{n} x_i y_i$

性质

$\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb R^n, \lambda, \mu \in \mathbb R,$
1. 正定性 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \ge 0, \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \vec {0}$
2. 对称性 $\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle$
3. 线性性 $\langle \lambda \mathbf{x} + \mu \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle = \lambda \langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \rangle + \mu \langle \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle$
4. Schwarz不等式 ${ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle }^2 \le \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle$

Schwarz不等式

${ \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle }^2 \le \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle$

证明：

(1) $\mathbf{x} = \vec {0}$ 时， 不等式显然成立。
(2) $\mathbf{x} \neq \vec {0}$ 时：
$\forall \lambda \in \mathbb R, \langle \lambda \mathbf{x} + \mathbf{y}, \lambda \mathbf{x} + \mathbf{y} \rangle = \lambda^2 \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle + 2 \lambda \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle + \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle \ge 0$
${ \Rightarrow 4 \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle }^2 - 4 \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle \le 0$
$\Rightarrow { \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle }^2 \le \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle$
等式成立