初等数论基础知识详细解析（1）

注：在本文中，所有未特殊注明的字母均表示一个整数，即在 $\mathbf{Z}$ 范围内定义。

一、整除的性质

1. 整除的定义：
   若 $\exists a,b$ ，使 $a=bq$ ，则我们说 $b$ 整除 $a$ ，记作 $b|a$ 。
2. 传递性：定理陈述如下：
   $$a|b,b|c\Rightarrow a|c$$
   证明：由整除的定义，得：
   $$a=b{q}_1,b=c{q}_2$$
   整理：
   $$\Rightarrow a=bq1=(c{q}_2)q_1=c(q_1{q}_2)$$
   整数判断：
   $$q_1,q_2\in \mathbf{Z}\Rightarrow q_1{q}_2\in \mathbf{Z}$$
   由整除的定义，得 $a|c$ 。
3. 线型组合：定理陈述如下：
   $$a|b,a|c\Rightarrow a|bx+cy$$
   证明：由整除的定义，得：
   $$b=a{q}_1,c=a{q}_2$$
   因此，
   $$bx+cy=(a{q}_1)x+(a{q}_2)y=a(q_{1}x)+a(q_{2}y)=a(q_{1}x+q_{2}y)$$
   整数判断：
   $$q_1,q_2,x,y\in \mathbf{Z}\Rightarrow q_{1}x+q_{2}y\in \mathbf{Z}$$
   由整除的定义，得：
   $$a|bx+cy$$
4. 连续自然数： $k$ 个连续的自然数的积能被 $k!$ 整除。
   证明： (i) 显见， $1$ 个连续的自然数的积能被 $1!$ 整除。
   (ii) 如果 $n$ 个连续的自然数的积能被 $n!$ 整除，则 $n+1$ 个自然数的积可以表示为
   $${\Pi }_{i=1}^{n+1}i=(n+1){\Pi }_{i=1}^{n}i$$
   由上式，我们可以得到：
   $$n+1|n+1\Rightarrow n!(n+1)|{\Pi }_{i=1}^{n+1}i\Rightarrow (n+1)!|{\Pi }_{i=1}^{n+1}i$$
   问题转化为下面的两种表述：
   假设使这个命题成立的自然数集合为 $T\in \mathbf{N}$ ，则我们根据上面的 (i) 和 (ii) 可以推出该命题具有以下性质：
   (i) 当 $n=1$ 时，命题成立，则 $1\in T$ ， $T$ 非空。
   (ii) 由 $n\in T$ 可以推出 $n+1\in T$ 。
   由数学归纳法，知 $T=\mathbf{N}$ ，即该命题对所有自然数成立。
5. Fermat 小定理：假设 $p$ 是一个质数，则我们可以得出 $p|n^p-n$ 。
   探究：我们可以通过证明一些较小数据规模的数从而推出总体的解。
   令 $p=2$ ，则我们可以得到：
   $$\begin{array}{c}\begin{array}{r}{n}^p-n=n^2-n\\ =n(n-1)\end{array}\end{array}$$
   由 $(1)$ 式及上面第 $4$ 项，我们可以得知：
   $$\begin{gathered} 2!\mid n(n-1) \\ \Rightarrow 2\mid n(n-1) \\ \Rightarrow 2\mid n^2-n \end{gathered}$$
   再令 $p=3$ ，我们可以得到：
   $$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{n}^p-n& =n^3-n\\ & =n(n^2-1)\\ & =n(n-1)(n+1)\end{array}\end{array}$$
   由 $(2)$ 式及上面第 $4$ 项，我们可以得知：
   $$\begin{gathered} 3!\mid (n-1)n(n+1) \\ \Rightarrow 6\mid (n-1)n(n+1) \\ \Rightarrow 3\mid n^3-n \end{gathered}$$
   再令 $p=5$ ，我们可以得知：
   $$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{n}^p-n& =n^5-1\\ & =n(n^4-1)\\ & =n(n^2-1)(n^2+1)\\ & =n(n-1)(n+1)(n^2+1)\\ & =n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)\\ & =n(n-1)(n+1)(n^2-4)+5n(n-1)(n+1)\\ & =n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)\end{array}\end{array}$$
   由上面的性质 $3,4$ 及 $(3)$ 式，我们可以得到：
   $$\begin{gathered} 5!\mid n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2),5\times 3!\mid 5n(n-1)(n+1) \\ \Rightarrow 120\mid n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2),30\mid 5n(n-1)(n+1) \\ \Rightarrow (30,120)\mid n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1) \\ \Rightarrow 30\mid n^5-n \\ \Rightarrow 5\mid n^5-n \end{gathered}$$
   因此， Fermat 小定理通过了小数据规模的验证，初步说明了它的成立性。