peterJr的博客

本文介绍了树状数组的原理及其应用。首先通过lowbit函数的定义和原理，解释了如何利用二进制补码快速计算最低位的1。然后详细阐述了树状数组的实现原理，包括其存储结构和四个关键性质。接着给出了树状数组的核心操作：插入操作的add函数和求和操作的query函数的具体实现，它们都基于lowbit函数进行高效遍历。最后提供了完整的C++模板类实现。树状数组能够将区间查询和单点修改的时间复杂度优化到O(logN)，适用于解决大规模数据处理问题。

本文讲述了分解质因数、欧拉函数、逆元、组合数等数学知识，并分析了每个算法的时间复杂度，给出了多种不同的实现方式。

本文介绍了矩阵的基本概念和运算方法，重点讲解了高斯消元法在解线性方程组中的应用。主要内容包括：1）矩阵的定义和基本运算（加法、乘法、幂运算）及其实现；2）矩阵运算的性质（交换律、结合律、分配律）及证明；3）特殊矩阵单位矩阵及其性质；4）矩阵的行初等变换（对换、倍乘、倍加变换）。文章还提供了矩阵类的C++实现代码，展示了如何通过运算符重载实现矩阵运算，并利用快速幂优化矩阵幂运算。这些内容为理解和应用矩阵运算奠定了理论基础。

KMP算法是一种高效的字符串匹配算法，通过预处理模式串T生成next数组，记录最长公共前后缀信息，从而在主串S匹配时避免不必要的回溯，将时间复杂度从暴力匹配的O(nm)优化至O(n+m)。核心步骤包括：1) 计算next数组，利用前后缀性质动态调整匹配位置；2) 双指针遍历主串和模式串，根据next数组跳转失配位置。KMP算法还可扩展求解字符串循环节、不重叠子串匹配等问题，是处理大规模字符串匹配的基础算法。

本文介绍了两种最小生成树算法：Prim算法和Kruskal算法。Prim算法以点为对象，通过贪心策略逐步扩展生成树，适用于稠密图；Kruskal算法以边为对象，通过排序和并查集选择边，适用于稀疏图。文章通过具体示例详细说明了两种算法的执行过程，并提供了代码实现。最小生成树算法可用于解决连通图的最小边权结构问题，具有广泛的实际应用价值。

并查集是一种高效的森林状数据结构，主要用于处理合并集合和查询元素关系的操作，时间复杂度约为O(α(n))。其核心思想是将元素的父节点指向根节点，实现快速查找和合并。算法框架包括初始化、路径压缩优化和合并操作。典型应用包括判断元素是否同属一个集合以及查询集合大小。通过维护父节点数组和集合大小数组，并查集能高效解决依赖关系、连通性等问题。文章详细介绍了并查集的实现原理、代码框架及两种常见应用场景，为相关算法问题提供了优化解决方案。

Dijkstra 算法的详细解析，包括 O(N^2) 做法和 O(NlogN) 做法，在最深层次提取 Dijkstra 算法的原理并生动用图片分析

单源最短路：Dijkstra(链接),Bellma-Ford,SPFA算法的思想、算法实现和简单变形，用C++语言描述，并对其中的重要引理给出简单证明

贪心算法的例题实现，两种不同的贪心算法变形，分别给出贪心算法证明和代码实现。

C++位运算详解，攻坚克难，解决算法学习中不可绕开的难点。

多源最短路的分析和讲解，讲解 Floyd 算法的原理和代码实现。

扩展欧几里得算法（ExGcd）是基于传统欧几里得算法的实现，主要用于计算不定方程axbygcdabab∈Z的一组特殊整数解。类似于传统的欧几里得算法计算gcdab时将gcdab转化为gcdbamodb，扩展欧几里得算法通过类似的系数辗转相除法求出xy的一组解。如果我们不使用扩展欧几里得算法计算axbygcdabaxbygcdab移项，得axgcdab−by系数化为1，得xagcd。

递推、递归是计算机算法设计中常用的集中基础算法。递推是从第一步开始，根据一个特定的规律或转移方程层层推进，直到推出答案所在状态位置为止。递归是从第一个可能性开始，枚举所有的可能性，并且根据这些可能性来找出最后的答案。递推经常被用作 DP 中实现状态转移，递归会常常被用作 DFS 枚举所有的可能性来找到正确答案，而分治的用途十分广泛，可以使用分治来获得更高的效率。关于时间复杂度，递推的时间复杂度通常为线型On，递归的时间复杂度通常为多项式级Onk或者指数级Okn或者阶乘级On。

基于最短路算法实现的次短路算法，实现了同时计算最短路径长和次短路径长