8、化工计算与MATLAB：偏微分方程与过程工程软件发展

化工计算与MATLAB：偏微分方程与过程工程软件发展

1. 线性二阶偏微分方程的分类

线性二阶偏微分方程的一般形式为：
[a\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+b\frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}+c\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+d\frac{\partial u}{\partial x}+e\frac{\partial u}{\partial y}+fu + g = 0]
根据判别式 (b^{2}-ac) 的值，可将其分为以下三类：
- 椭圆型（Elliptic） ：当 (b^{2}-ac < 0) 时，方程为椭圆型。例如拉普拉斯方程 (\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} = 0)。
- 抛物型（Parabolic） ：当 (b^{2}-ac = 0) 时，方程为抛物型。如热传导或扩散方程 (\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial u}{\partial t})。
- 双曲型（Hyperbolic） ：当 (b^{2}-ac > 0) 时，方程为双曲型。例如波动方程 (\alpha^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}