54、离散对数环境下的冷启动攻击及通信最优的非对称指纹方案

离散对数环境下的冷启动攻击及通信最优的非对称指纹方案

1. 离散对数冷启动攻击相关算法

1.1 OpenSSL 的 wNAF 改进

在处理 OpenSSL 的 wNAF 时，由于其与教科书式 wNAF 存在差异，教科书式 wNAF 最多在最高有效 w + 1 位（不包括前导零）受影响。而 OpenSSL 使用的修改后的 wNAF 使得不能像教科书式 wNAF 那样逐位构建。因此，在算法 3 中引入了额外参数 k > 0（k 为正整数）。原本算法在 ℓ′ > ℓ - t 时进入最后阶段，现在改为 ℓ′ > ℓ - t - k 时进入。即比 k = 0 时提前 k 位停止，最后阶段为候选集 CandSet 中的每个字符串添加 ℓ - ℓ′ 位，并检查是否与私钥 a 匹配。

一般来说，k 值越高，随机私钥的标准 wNAF 和修改后的 wNAF 在算法计算的位置上一致的可能性越大，但 k 值越大，最后阶段的运行时间越长，典型的 k 值通常小于 10。

1.2 Comb 编码的密钥恢复

对于基于 Comb 编码的方法，教科书式 Comb 编码与原始密钥构成重复码，有标准技术恢复此类密钥。而 PolarSSL 的 Comb 为防止侧信道攻击使用了前瞻算法，需要更复杂的算法。以下是算法 4 的伪代码：

Algorithm 4 Generic key-recovery algorithm for PolarSSL comb method.
Input: noisy memory image M∗, reference public key Q = aP, parameters d, w, t
Output: secret key a or ⊥
1: CandSet ← ∅
2: for all x ∈ {0, 1}tw−1 × {1} do
3:
    for j ← 0 to t − 1 do
4:
        ¯Kj ← (x(j+1)w−1, . . . , xjw)
5:
        compute Kt−1, (σt−2, Kt−2), . . . , (σ0, K0)
6:
        using lines 3–8 of Algorithm 2
7:
        calculate partial representation Mx
8:
        if Correlate(Mx, M∗) = pass then
9:
            add x to CandSet
10: for i ← 2 to ⌈d/t⌉−1 do
11:
    CandSet′ ← ∅
12:
    for all x ∈ {0, 1}tw × CandSet do
13:
        for j ← 0 to it − 1 do
14:
            ¯Kj ← (x(j+1)w−1, . . . , xjw)
15:
            compute Kit−1, (σit−2, Kit−2), . . . , (σ0, K0)
16:
            using lines 3–8 of Algorithm 2
17:
            calculate partial representation Mx
18:
            if Correlate(Mx, M∗) = pass then
19:
                add x to CandSet′
20:
    CandSet ← CandSet′
21: for all x ∈ {0, 1}wd−(⌈d/t⌉−1)tw × CandSet do
22:
    for j ← 0 to d − 1 do
23:
        ¯Kj ← (x(j+1)w−1, . . . , xjw)
24:
        a ← ∑d−1j=0 ∑w−1i=0 2j+id ¯Kji
25:
        if Q = aP then
26:
            return a
27: return ⊥

该算法的输入包括噪声内存图像 M∗、公钥 Q = aP、Comb 的长度 w、Comb 位置数量 d 和可变参数 t。在某些情况下，如果私钥长度 ℓ 不等于 wd，可通过在特定位置添加零来提高算法效率，但在实际模拟中通常不需要。

1.3 成功率分析

1.3.1 OpenSSL 实现的成功率

结合 Correlate 测试分析算法 3 的成功率。如果输入是教科书式 wNAF 的图像，正确候选者通过 Correlate 测试的概率为 γ²（γ = ∫₀ᴄ χ²₁(x)dx），恢复正确密钥的概率为 γ²·⌊(ℓ + 1 - w)/t⌋。但 OpenSSL 使用修改后的 NAF，标准 wNAF 和修改后的 wNAF 最多在最高有效 w + 1 位有差异。

要计算随机私钥的标准 wNAF 和修改后的 NAF 到 bj - 1 位相等的概率，若私钥在 j + w - 1 到 ℓ - 1 位置有 1 位，则计算的 NAF 数字与修改后的 wNAF 数字在 j - 1 位置之前相同，通过测试的概率为 γ。成功率的下限为：

P(success) ≥ [1 - 2⁻ᵏ⁻(ℓ - k - w + 1 mod t)] · γ²·⌊(ℓ - k + 1 - w)/t⌋

通过适当设置阈值 k 和 C（从而确定 γ），可以实现任何期望的成功率，但可能会增加运行时间。

1.3.2 PolarSSL 实现的成功率

算法 4 需要通过 ⌈d/t⌉ - 1 次 Correlate 测试，每次测试相互独立，正确候选者通过每次测试的概率为 γ²，所以成功率为 P(success) = γ²·(⌈d/t⌉ - 1)。

1.4 密钥恢复模拟结果

以下是 OpenSSL 和 PolarSSL 模拟结果的表格：

w	α	β	t	C	k	χ² est.	prac. suc.
2	0.001	0.01	7	6	3	0.51	0.92
2	0.001	0.05	10	3.5	3	0.15	0.45
2	0.001	0.10	10	3.5	3	0.15	0.17
2	0.001	0.15	10	3.5	3	0.15	0.20
2	0.001	0.20	14	2	3	0.02	0.07
2	0.001	0.25	12	2	3	0.01	0.06
2	0.001	0.30	12	2	3	0.01	0.04
2	0.001	0.35	14	0.75	3	0	0.02

（a）OpenSSL

w	d	α	β	t	C	χ² est.	prac. suc.
4	40	0.001	0.01	2	7	0.73	0.81
4	40	0.001	0.02	2	5	0.38	0.65
4	40	0.001	0.03	2	4	0.17	0.60
4	40	0.001	0.05	2	3.5	0.09	0.58
4	40	0.001	0.06	2	3	0.04	0.55
4	40	0.001	0.07	2	3	0.04	0.52
4	40	0.001	0.08	2	2.5	0.01	0.37
4	40	0.001	0.10	2	2.5	0.01	0.08

（b）PolarSSL

从表格中可以看出，随着噪声率增加，成功率会逐渐下降。对于 OpenSSL，β = 0.15 时的成功率高于 β = 0.10 时，这可能是由于模拟次数有限导致的异常值。对于小的 β 值，算法有较好的成功率，并且可以通过增加阈值 C 显著提高成功率，同时对运行时间影响不大。

2. 通信最优的非对称指纹方案

2.1 指纹方案概述

在指纹方案中，服务器将文件分发给用户，通过将文件分割成段并提供每段的至少两种变体，为每个用户生成不同版本的文件，每个用户的文件对应一个指纹字符串。

对称指纹方案中，服务器生成指纹并直接传输给用户，存在服务器和用户都能生成盗版文件的问题，诚实的服务器无法提供不可否认的证据证明用户有罪，诚实的用户也无法抵御恶意服务器的诬陷。

为解决这个问题，引入了非对称指纹方案，服务器不能诬陷无辜用户，在发生纠纷时能提供有罪用户的证据。因此，服务器不应完全知晓每个用户的指纹，文件下载应从服务器角度以不经意的方式进行，由法官解决服务器和用户之间的纠纷。

2.2 现有方案的问题

最初的论文将文件传输阶段视为安全两方计算的实例，但即使是“通信高效”的安全两方计算，通信开销仍然过高，通信率（文件大小与总传输长度之比）最多为 0.5，且需要预先知道一个非常大的公共参考串（CRS）。

Tardos 发现了最优长度的二进制指纹码后，Charpentier 等人提出使用不经意传输作为构建基于 Tardos 的非对称指纹方案的基础，但他们的方案次优，通信率最多为 0.5，且依赖于可交换加密，无法证明方案的安全性，也没有提供完整的安全分析。

2.3 通信最优的非对称指纹方案

基于接近 1 的通信率的不经意传输（由最近提出的最优率同态加密构建），提出了第一个通信最优的非对称指纹方案，其通信率对于足够大的文件可以任意接近 1。该方案基于 Tardos 码，并在扩展的正式安全模型中证明了方案的安全性，同时处理了之前在非对称指纹方案中未被注意到的重要安全考虑因素，如指控撤回和对抗性中止。

该方案的流程可以用以下 mermaid 流程图表示：

graph TD;
    A[服务器准备文件] --> B[分割文件为段];
    B --> C[为每段提供变体];
    C --> D[生成用户指纹];
    D --> E[不经意传输文件];
    E --> F[用户接收文件];
    F --> G[用户可能勾结生成盗版文件];
    G --> H[服务器发现盗版文件];
    H --> I[服务器向法官提供证据];
    I --> J[法官判定有罪用户];

2.4 方案的优势

该方案解决了非对称指纹方案通信率低的问题，使得在分发大文件（如视频和音频等媒体文件）时具有实际可行性。同时，通过严格的安全证明，保证了方案在面对用户勾结和服务器诬陷等情况时的安全性。

综上所述，离散对数冷启动攻击的相关算法为密钥恢复提供了有效的方法，而通信最优的非对称指纹方案则解决了文件分发中的安全和通信效率问题，具有重要的理论和实际意义。

3. 离散对数冷启动攻击算法总结

3.1 算法优势

• 理论分析支持 ：为 OpenSSL 和 PolarSSL 实现的密钥恢复算法提供了理论分析，能够计算成功率的下限。例如，通过对 OpenSSL 中修改后的 wNAF 和 PolarSSL 中 Comb 编码的分析，得出相应的成功率计算公式，为算法的有效性提供了理论依据。
• 实际效果良好 ：从模拟结果来看，在小噪声率（如小的 β 值）情况下，算法具有较好的成功率。如 OpenSSL 在 β = 0.05 时成功率达到 45%，且可以通过调整阈值 C 进一步提高成功率，同时对运行时间影响不大。

3.2 算法局限性

• 运行时间与成功率的权衡 ：在 OpenSSL 的算法 3 中，提高成功率需要增加参数 k，但 k 值越大，最后阶段的运行时间越长。这意味着在追求高成功率时，需要牺牲一定的运行效率。
• 模拟次数影响结果 ：模拟结果中出现的异常值（如 OpenSSL 中 β = 0.15 时成功率高于 β = 0.10 时），可能是由于模拟次数有限导致的。增加模拟次数可能会使结果更加准确，但也会增加计算成本。

3.3 算法改进方向

• 优化参数选择 ：进一步研究如何根据不同的噪声率和文件长度，选择最优的参数（如 k、t、C 等），以平衡成功率和运行时间。
• 减少异常值影响 ：通过增加模拟次数或采用更先进的统计方法，减少模拟结果中的异常值，提高算法的可靠性。

4. 通信最优的非对称指纹方案总结

4.1 方案创新点

• 通信率接近 1 ：基于接近 1 的通信率的不经意传输构建方案，解决了现有非对称指纹方案通信率低的问题，使得在分发大文件时具有实际可行性。
• 安全模型扩展 ：在扩展的正式安全模型中证明了方案的安全性，处理了指控撤回和对抗性中止等之前未被注意到的安全考虑因素，提高了方案的安全性。

4.2 方案应用场景

• 媒体文件分发 ：适用于分发视频、音频等大文件，能够在保证文件安全的前提下，提高分发效率。
• 版权保护 ：可以用于保护数字内容的版权，通过追踪盗版文件的来源，打击盗版行为。

4.3 方案未来展望

• 结合新技术 ：可以结合区块链、人工智能等新技术，进一步提高方案的安全性和效率。
• 拓展应用领域 ：探索在其他领域（如物联网、云计算等）的应用，为更多场景提供安全的文件分发解决方案。

5. 综合对比与思考

5.1 离散对数冷启动攻击算法与非对称指纹方案的关联

虽然离散对数冷启动攻击算法和通信最优的非对称指纹方案分别针对不同的问题（密钥恢复和文件分发安全），但它们都涉及到密码学和信息安全领域。两者都需要考虑安全性和效率的平衡，并且都依赖于先进的密码学技术（如同态加密、不经意传输等）。

5.2 对信息安全的启示

• 技术创新的重要性 ：不断推动密码学技术的创新，如开发新的加密算法、设计更高效的安全协议，是提高信息安全水平的关键。
• 安全模型的完善 ：建立完善的安全模型，考虑各种可能的攻击场景和安全风险，能够更好地保障系统的安全性。

5.3 实际应用中的挑战

• 计算资源需求 ：无论是离散对数冷启动攻击算法还是非对称指纹方案，都需要一定的计算资源来实现。在实际应用中，需要考虑如何在有限的计算资源下，保证算法和方案的有效性。
• 用户接受度 ：新的技术和方案可能需要用户进行一定的学习和适应，如何提高用户的接受度，也是实际应用中需要解决的问题。

以下是一个总结离散对数冷启动攻击算法和通信最优的非对称指纹方案特点的表格：
| 类别 | 优点 | 缺点 | 应用场景 |
| — | — | — | — |
| 离散对数冷启动攻击算法 | 有理论分析支持，小噪声率下成功率较好 | 运行时间与成功率需权衡，模拟结果可能有异常值 | 密钥恢复 |
| 通信最优的非对称指纹方案 | 通信率接近 1，安全模型扩展 | 依赖先进密码学技术，可能有计算资源需求 | 文件分发、版权保护 |

综上所述，离散对数冷启动攻击算法和通信最优的非对称指纹方案在信息安全领域具有重要的意义。通过不断改进和完善这些算法和方案，能够更好地保障数字信息的安全和隐私。同时，在实际应用中需要充分考虑各种因素，解决面临的挑战，推动信息安全技术的发展。