20、模块化算术在密码学中的应用与实践

模块化算术在密码学中的应用与实践

1. 模块化算术实践概述

模块化算术在现代密码学中扮演着重要角色，它基于古代算术原理，为密码学提供了基础的数学运算支持。下面将详细介绍模块化算术的减法、乘法、指数运算和除法（通过求逆）的实践方法。

1.1 模块化减法

在模块化减法中，我们通常需要将结果进行模块化约简，以确保结果在 $0$ 到 $N - 1$ 的范围内。具体步骤如下：
1. 计算 $t = x - y$。
2. 如果 $t < 0$，则 $t’ = t + N$；否则 $t’ = t$。

以下是具体示例：
| $x$ | $y$ | $N$ | $t = x - y$ | $t’$ | 模块化约简验证 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 8 | 7 | 12 | 1 | 1 | $1 \equiv 1 \pmod{12}$ |
| 1 | 7 | 12 | -6 | 6 | $6 \equiv -6 \pmod{12}$ |

从这些示例可以看出，计算模块化减法只需要整数的加法和减法运算。

1.2 模块化乘法

对于模块化乘法，当 $0 \leq x, y < N$ 时，计算 $t = x \cdot y$ 后，结果 $t$ 可能超出 $0$ 到 $N - 1$ 的范围，此时需要进行模块化约简。与加法和减法不同，这里可能需要多次减去 $N$ 才能得到正确结果。

为了提高效率，我们可以使用以下公式进行一次性约简：$t’ = t - (N \cdot \