17、共形几何代数：原理、应用与空间映射

共形几何代数：原理、应用与空间映射

1. 引言

在几何代数的研究中，不同的代数结构对应着不同的几何表示。三维欧几里得空间的几何代数 (G_{3,0,0}) 以点为基，而运动代数 (G_{3,0,1}) 则以线为基。在 (G_{3,0,1}) 中，用普吕克坐标表示的线还能用于表示点和平面。

而共形几何代数中，单位元素是球体，这使得我们可以用它来表示其他几何基元。下面将介绍共形几何代数，展示欧几里得向量空间 (R^n) 如何在 (R^{n + 1,1}) 中表示。

设 ({e_1, \cdots, e_n, e_+, e_-}) 为向量基，具有以下性质：
- (e_i^2 = 1)，(i = 1, \cdots, n)
- (e_{\pm}^2 = \pm1)
- (e_i \cdot e_+ = e_i \cdot e_- = e_+ \cdot e_- = 0)，(i = 1, \cdots, n)

可以引入零基 ({e_0, e_{\infty}})：
- (e_0 = \frac{e_- - e_+}{2})
- (e_{\infty} = e_- + e_+)

其性质为 (e_0^2 = e_{\infty}^2 = 0)，(e_{\infty} \cdot e_0 = -1)。

定义表示所谓闵可夫斯基平面的单位伪标量 (E \in R^{1,1}) 为 (E = e_{\infty} \wedge e_0 = e_+ \wedge e_- = e_+e_-)，具有以下性质：
- (E^2 = 1)
- (\tilde{E} = -E)