6、几何代数入门：从基础运算到线性代数与单纯形

几何代数入门：从基础运算到线性代数与单纯形

1. 基本概念与运算

1.1 Hodge对偶与叉积、楔积关系

在几何代数中，$I_3 = e_1 ∧ e_2 ∧ e_3$ 是伪标量。向量 $x$ 和二向量 $X$ 的 Hodge 对偶计算如下：
- $\star x = xI_3 = X$
- $\star X = -XI_3 = x$

叉积和楔积的关系为：
- $x ∧ y = \star(x × y) = (x × y)I_3$
- $x × y = -(x ∧ y)I_3$

1.2 对偶叶片与几何积中的对偶性

对偶性是与单位伪标量 $I$ 代数相关的基本概念。在几何代数 $G_n$ 中，多向量 $A$ 的对偶定义为 $A^* = AI_n^{-1}$，其中 $I_n^{-1}$ 与 $I_n$ 最多相差一个符号。一般来说，$I^{-1}$ 不一定与 $A$ 可交换。

几何代数 $G_n$ 的多向量基有 $2^n$ 个基元素，后半部分是前半部分的对偶。例如，在 $G_3$ 中，标量的对偶是伪标量，向量的对偶是二向量 $e_{23} = Ie_1$。通常，$r$ - 叶片的对偶是 $(n - r)$ - 叶片。

与 Clifford 积直接相关的内积和外积是相互对偶的，可表示为：
- $(x · A)I_n = x ∧ (AI_n)$
- $(x ∧ A)I_n = x · (AI_n)$

通过对偶性，内积与关联算子的关系为：若有 $r$ - 向量 $A$ 和 $s$ - 向量 $B$，$B$ 的对偶为 $B^