46、混淆伪随机函数的相关性难解性

混淆伪随机函数的相关性难解性

1. 研究背景与问题提出

可穿透伪随机函数（puncturable PRFs）与通用程序混淆相结合时，是一种极其强大的工具。已有多项工作展示了其应用，例如与不可区分混淆（iO）一起实例化了一些类似随机预言机的哈希函数，包括通用硬核函数、通用计算提取器以及全域哈希构造中使用的函数。

基于此，自然会提出以下问题：
- 混淆后的可穿透伪随机函数是否具有相关性难解性？
- 如果是，在什么假设下成立？

2. 研究结果

我们朝着回答上述问题取得了进展。具体而言，我们证明了使用不可区分混淆器进行混淆的可穿透伪随机函数满足有界相关性难解性。这里的“有界”指的是所考虑的稀疏关系的计算复杂度存在多项式上界，并且函数族的复杂度取决于该上界（需强调的是，此界限仅适用于关系，而敌手可以在任意多项式时间内运行）。

有界相关性难解性在性质上比完全相关性难解性弱，但即便以有界形式存在，它也是一个此前未被构造出的强大概念。在许多特定应用中，如比特币，稀疏关系的复杂度上界是已知的。

我们的结果基于以下假设成立：
- 存在针对规避电路族的输入隐藏混淆（IHO）。
- 存在次指数安全的不可区分混淆。
- 存在次指数安全的可穿透伪随机函数。

主要定理如下：
假设存在针对规避电路的输入隐藏混淆、次指数安全的不可区分混淆以及次指数安全的可穿透伪随机函数，那么对于任意多项式 p(n)，存在一个 p(n) 有界的相关性难解函数族。

需要注意的是，如果只考虑对于任意 x，值域中只有极少数 y 值满足 R(x, y) 的关系 R，并且允许值域