43、可验证随机函数与同态评估的复杂度分析

可验证随机函数与同态评估的复杂度分析

1. 可验证随机函数应答挑战查询

当给定输入 $X(0)$ 进行挑战查询时，其处理流程如下：
1. 计算 $\beta = (\beta_1, \ldots, \beta_n)^{\top} \gets TrapEvalVHF(td, X(0))$。
2. 若 $\beta_n = 0$，则直接中止并输出一个随机比特。
3. 若 $\beta_n \neq 0$，则计算 $\gamma_i$ 值：
- 首先，$[v] := [B \cdot \beta] = \left[ (b_1, \ldots, b_{n - 1}) \cdot (\beta_1, \ldots, \beta_{n - 1})^{\top} + b_n \cdot \beta_n \right] = \left[ (\gamma_1 c_1, \ldots, \gamma_n c_n)^{\top} + d \cdot \beta_n \right]$。
- 此时，$v_i$ 和 $d_i$ 分别表示 $v$ 和 $d$ 的第 $i$ 个分量，有 $v_i = \gamma_i c_i + d_i \beta_n$。
- 函数值 $Y = \left\lfloor \sum_{i = 1}^{n} \frac{v_i}{c_i} \right\rfloor = \left\lfloor \sum_{i = 1}^{n} \frac{\gamma_i c_i + d_i \beta_n}{c_i} \right\rfloor$。
4. 计算并输出 $[t \cdot \beta_n] \cdot \left[ \prod_{i = 1}^{n}