28、小模数舍入学习的难度与两轮中间人安全认证协议

小模数舍入学习的难度与两轮中间人安全认证协议

在密码学领域，秘密密钥认证协议一直是研究的热点。本文将围绕小模数舍入学习的难度以及基于学习奇偶性带噪声（LPN）问题的两轮中间人安全认证协议展开探讨。

小模数舍入学习相关证明与算法

考虑算法Dist′，其输入为((A, b) = ((a_1, b_1), \ldots, (a_m, b_m)))（其中(a_j \in Z_n^q)，(b_j \in Z_p)）和(a \in Z_n^q)，具体步骤如下：
1. 随机采样(r \leftarrow Z_n^q)和(c \leftarrow Z_m^q)。
2. 通过(A’ = A - c \cdot r)，(b’ = \frac{q}{p} \cdot b - c)从(A)和(b)得到(A’, b’ \in Z_m^{n\times q} \times Z_m^q)。这里(c \cdot r)是向量(c)和(r)的外积。
3. 若(Dist(A’, b’) = 1)，则输出(1)；否则，输出(0)。

当(b = \lfloor u \rfloor_p)时，((A’, b’))的分布为((A’, u))；当(b = \lfloor As \rfloor_p)时，经过一系列推导可得：
((A’, b’) = (A - c \cdot r, \frac{q}{p} \cdot \lfloor As \rfloor_p - c) = (A’, \frac{q}{p} \cdot \lfloor A’s + c \cdot \langle r, s \rangle \rfloor_p - c) = (A’, A’s + c \cdot \langle r,