22、差分隐私中的最优组合计算与私有学习难题

差分隐私中的最优组合计算与私有学习难题

在数据隐私保护领域，差分隐私是一种强大的工具，用于在数据分析过程中保护个体信息的隐私。然而，计算差分隐私算法的最优组合以及实现高效的私有学习仍然面临着诸多挑战。本文将深入探讨这些问题，并介绍相关的理论和算法。

计算最优组合的复杂性

#SUM - PARTITION问题与OptComp的关联

给定#SUM - PARTITION问题的一个实例$D$、$W = {w_1, \ldots, w_k}$和$r$，其中对于所有$i \in [k]$，$w_i$是某个整数的$D$次方根，且$\sum_{i} w_i \leq c$。我们设置$\epsilon_i = \ln(w_i)$，$\delta_1 = \delta_2 = \cdots = \delta_k = 0$，$\epsilon_g = \ln(r)$。由于可以取$c$为任意大于1的常数，所以能确保$\sum_{i} \epsilon_i \leq \epsilon$（对于任意$\epsilon > 0$）。

使用以$\epsilon_g$为输入并输出$\delta_g$的OptComp版本，在通过OptComp预言机找到$\delta_g$后，满足以下等式：
[
\frac{1}{\prod_{i = 1}^{k} (1 + e^{\epsilon_i})} \sum_{S \subseteq {1, \ldots, k}} \max \left{ e^{\sum_{i \in S} \epsilon_i} - e^{\epsilon_g} \cdot e^{\sum_{i \notin S} \epsilon_i}, 0 \righ